Tìm \(\left( {{2}^{m}}-1;{{2}^{n}}-1 \right)\).

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

Áp dụng tính chất của ước chung lớn nhất.

Giải chi tiết:

Đặt \(\left( m;n \right)=k\) ta có: \(m = m'k,\,\,n = n'k\) với \(\left( m';n' \right)=1\).

Khi đó : \({{2}^{m}}-1={{2}^{m'k}}-1=\left( {{2}^{k-1}}-1 \right)P\) và \({{2}^{n}}-1={{2}^{n'k}}-1=\left( {{2}^{k}}-1 \right)Q\).

Vì \(\left( {m';n'} \right) = 1\) nên \(\left( P;Q \right)=1\) nên  \(\left( {{2}^{m}}-1;{{2}^{n}}-1 \right)={{2}^{k}}-1={{2}^{\left( m;n \right)}}-1\)

Vậy \(\left( {{2}^{m}}-1;{{2}^{n}}-1 \right)={{2}^{\left( m;n \right)}}-1\).