Cho nửa đường  tròn tâm O đường kính AB = 2R. Trên...

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

Phương  pháp:

Câu a: Sử dụng tính chất đường trung tuyến của tam giác để chứng minh tam giác ABC vuông. Hoặc sử dụng góc nội tiếp chắn nửa đường tròn là góc vuông.

Sau đó sử dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông để chứng minh điều cần chứng minh.

Câu b: Chứng minh đường một đường thẳng là tiếp tuyến của đường tròn ta cần chứng minh: đường thẳng đó tiếp xúc với đường tròn và vuông góc với bán kính của đường tròn tại điểm đó.

Giải chi tiết:

a, Xét \(\Delta \) ABC có  \(OA=OB=OC=\frac{1}{2}AB.\)

\(\Rightarrow \Delta\) ABC vuông tại \(C\) \(\Rightarrow AC\bot BC.\)

 Ta có AD là tiếp tuyến của nửa đường tròn tâm O nên AD \(\bot \) AB.

Trong \(\Delta \) ABD vuông tại A có \(AC\bot BD\Rightarrow BC.BD=A{{B}^{2}}.\)

Mà AB = 2R nên \(BC.BD=4{{R}^{2}}.\)

b, Tam giác ACD vuông tại C có I là trung điểm của AD

\(\Rightarrow AI=DI=CI=\frac{1}{2}AD.\) (Tính chất đường trung tuyến ứng với cạnh huyền).

Xét  tam giác AOI và COI có

OI chung

OA = OC

AI = CI

\(\Rightarrow \Delta AOI=\Delta COI\,\,\,\left( c-c-c \right).\)  \(\Rightarrow \widehat{IAO}=\widehat{ICO}\) (hai góc tương ứng).

Mà \(\widehat{IAO}={{90}^{0}}\Rightarrow \widehat{ICO}={{90}^{0}}\) hay IC \(\bot \)OC

           \(\Rightarrow \)IC là tiếp tuyến của nửa đường tròn tâm O.

c, Ta có AD//CH (cùng vuông góc với AB)

Trong tam giác BAI có KH // AI \(\Rightarrow \frac{KH}{AI}=\frac{BK}{BI}\) (định lý Ta-lét).

Trong tam giác BDI có CK // DI \(\Rightarrow \frac{CK}{DI}=\frac{BK}{BI}\) (định lý Ta-lét).

Suy ra \(\frac{KH}{AI}=\frac{CK}{DI}.\)

Mà AI = DI nên KH = CK hay K là trung điểm của CH. (điều phải chứng minh).