Cho hình chóp S.ABC có đáy là \(\Delta ABC\) vuông...

D

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

Sử dụng công thức tỉ lệ thể tích: \(\frac{{{V}_{S.AMN}}}{{{V}_{S.ABC}}}=\frac{SA}{SA}.\frac{SM}{SB}.\frac{SN}{SC}\).

Giải chi tiết:

Qua G kẻ MN // BC \(\left( M\in SB,N\in SC \right)\Rightarrow \left( \alpha  \right)\) cắt SB, SC lần lượt tại M và N.

Gọi D là trung điểm của CD. Ta có \(\frac{SG}{SD}=\frac{2}{3}\).

Theo định lí Ta-let ta có: \(\frac{SM}{SB}=\frac{SN}{SC}=\frac{SG}{SD}=\frac{2}{3}\)

\(\Rightarrow \frac{{{V}_{S.AMN}}}{{{V}_{S.ABC}}}=\frac{SA}{SA}.\frac{SM}{SB}.\frac{SN}{SC}=\frac{4}{9}\)

Ta có \(\Delta ABC\) vuông cân tại B \(\Rightarrow BA=BC=\frac{AC}{\sqrt{2}}=a\)

\(\Rightarrow {{V}_{S.ABC}}=\frac{1}{3}SA.\frac{1}{2}BA.BC=\frac{{{a}^{3}}}{6}\)

Vậy \({{V}_{S.AMN}}=\frac{4}{9}.\frac{{{a}^{3}}}{6}=\frac{2{{a}^{3}}}{27}\)

Chọn D