Cho hình chóp S.ABC có đáy là $\Delta ABC$ vuông...

D

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

Sử dụng công thức tỉ lệ thể tích: $\frac{{{V}_{S.AMN}}}{{{V}_{S.ABC}}}=\frac{SA}{SA}.\frac{SM}{SB}.\frac{SN}{SC}$.

Giải chi tiết:

Qua G kẻ MN // BC $\left( M\in SB,N\in SC \right)\Rightarrow \left( \alpha  \right)$ cắt SB, SC lần lượt tại M và N.

Gọi D là trung điểm của CD. Ta có $\frac{SG}{SD}=\frac{2}{3}$.

Theo định lí Ta-let ta có: $\frac{SM}{SB}=\frac{SN}{SC}=\frac{SG}{SD}=\frac{2}{3}$

$\Rightarrow \frac{{{V}_{S.AMN}}}{{{V}_{S.ABC}}}=\frac{SA}{SA}.\frac{SM}{SB}.\frac{SN}{SC}=\frac{4}{9}$

Ta có $\Delta ABC$ vuông cân tại B $\Rightarrow BA=BC=\frac{AC}{\sqrt{2}}=a$

$\Rightarrow {{V}_{S.ABC}}=\frac{1}{3}SA.\frac{1}{2}BA.BC=\frac{{{a}^{3}}}{6}$

Vậy ${{V}_{S.AMN}}=\frac{4}{9}.\frac{{{a}^{3}}}{6}=\frac{2{{a}^{3}}}{27}$

Chọn D