Xét các số phức \(z=a+bi,\,\,\left( a;b\in R \righ...

A

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

Từ \(\left| z+yi \right|=\left| \overline{z}+4-3i \right|\) tìm ra quỹ tích điểm \(M\left( x;y \right)\)biểu diễn cho số phức \(z=x+yi\)

Gọi điểm \(M\left( x;y \right)\) là điểm biểu diễn cho số phức z và \(A\left( -1;1 \right);\,\,B\left( 2;-3 \right)\) ta có:

\(\left| z+1-i \right|+\left| z-2+3i \right|=MA+MB\) nhỏ nhất \(\Leftrightarrow MA=MB\)

Giải chi tiết:

Gọi \(z=x+yi\) ta có:

\(\begin{align}  & \left| x+yi \right|=\left| x-yi+4-3i \right| \\  & \Leftrightarrow {{x}^{2}}+{{y}^{2}}={{\left( x+4 \right)}^{2}}+{{\left( y+3 \right)}^{2}} \\  & \Leftrightarrow 8x+6y=-25 \\ \end{align}\)

Gọi điểm \(M\left( x;y \right)\) là điểm biểu diễn cho số phức z và \(A\left( -1;1 \right);\,\,B\left( 2;-3 \right)\) ta có:

\(\left| z+1-i \right|+\left| z-2+3i \right|=MA+MB\) nhỏ nhất.

Ta có : \(MA+MB\ge 2\sqrt{MA.MB}\), dấu bằng xảy ra \(\Leftrightarrow MA=MB\Rightarrow \) M thuộc trung trực của AB.

Gọi \(I\) là trung điểm của AB ta có \(I\left( \frac{1}{2};-1 \right)\) và \(\overrightarrow{AB}=\left( 3;-4 \right)\)

Phương trình đường trung trực của AB là \(3\left( x-\frac{1}{2} \right)-4\left( y+1 \right)=0\Leftrightarrow 3x-4y-\frac{11}{2}=0\)

Để \({{\left( MA+MB \right)}_{\min }}\Leftrightarrow \) Tọa độ điểm M là nghiệm của hệ phương trình 

\(\left\{ \begin{array}{l}
8x + 6y = - 25\\
3x - 4y = \frac{{11}}{2}
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
x = - \frac{{67}}{{50}}\\
y = - \frac{{119}}{{50}}
\end{array} \right.\)

\( \Rightarrow z = - \frac{{67}}{{50}} - \frac{{119}}{{50}}i \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
a = - \frac{{67}}{{50}}\\
b = - \frac{{119}}{{50}}
\end{array} \right. \Rightarrow P = a + 2b = - \frac{{61}}{{10}}\)

Chọn A.