Giả sử ${{z}_{1}},\,\,{{z}_{2}}$ là hai trong số...

D

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

+) Từ giả thiết $\left| iz+\sqrt{2}-i \right|=1$, tìm ra đường biểu diễn $\left( C \right)$ của các số phức z.

+) Gọi A, B lần lượt là điểm biểu diễn của ${{z}_{1}};{{z}_{2}}\Rightarrow \left| {{z}_{1}}-{{z}_{2}} \right|=AB\Rightarrow$ vị trí của AB đối với đường tròn $\left( C \right)$

$\Rightarrow \left| {{z}_{1}} \right|+\left| {{z}_{2}} \right|=OA+OB$

+) Sử dụng công thức trung tuyến tính $O{{A}^{2}}+O{{B}^{2}}$

+) Sử dụng BĐT Bunhiascopky tìm GTLN của $OA+OB$

Giải chi tiết:

Ta có: $\left| iz+\sqrt{2}-i \right|=1\Leftrightarrow \left| i\left( x+yi \right)+\sqrt{2}-i \right|=1$ (với $z=x+yi\ \left( x;y\in R \right)$)

$\Leftrightarrow {{\left( x-1 \right)}^{2}}+{{\left( y-\sqrt{2} \right)}^{2}}=1\Rightarrow M\left( x;y \right)$ biểu diễn $z$ thuộc đường tròn tâm $I\left( 1;\sqrt{2} \right)$ bán kính $R=1.$

Giả sử $A\left( {{z}_{1}} \right);B\left( {{z}_{2}} \right)$ do $\left| {{z}_{1}}-{{z}_{2}} \right|=2\Rightarrow AB=2=2R$ nên $AB$ là đường kính của đường tròn $\left( I;R \right)$

Lại có: $\left| {{z}_{1}} \right|+\left| {{z}_{2}} \right|=OA+OB$

Mặt khác theo công thức trung tuyến ta có: $O{{I}^{2}}=\frac{O{{A}^{2}}+O{{B}^{2}}}{2}-\frac{A{{B}^{2}}}{4}\Rightarrow O{{A}^{2}}+O{{B}^{2}}=8.$

Theo BĐT Bunhiascopky ta có:$2\left( O{{A}^{2}}+O{{B}^{2}} \right)\ge {{\left( OA+OB \right)}^{2}}\Rightarrow OA+OB\le 4.$

Chọn D.