Cho hình chóp đa giác đều có các cạnh bên bằng

A

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

Xác định tâm của mặt cầu ngoại tiếp hình chóp, tính bán kính mặt cầu, từ đó tính thể tích mặt cầu ${{V}_{mc}}=\frac{4}{3}\pi {{R}^{3}}$.

Giải chi tiết:

Gọi SA là một cạnh bên của hình chóp, M là trung điểm của SA, $\left( \alpha  \right)$ là mặt phẳng chứa đa giác đáy, H là chân đường vuông góc của đỉnh S trên mặt đáy.

Vì hình chóp đa giác đều $\Rightarrow H$là tâm đường tròn ngoại tiếp đa giác đáy.

$\left( \widehat{SA;(\alpha )} \right)=\left( \widehat{SA;AH} \right)=\widehat{SAH}={{30}^{0}}$

Gọi O là tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp $OM$là trung trực của đoạn SA.

$\Delta SAH$vuông tại H $\Rightarrow SH=SA.\sin \widehat{A}=a.\sin {{30}^{0}}=\frac{a}{2}$

Ta có: $\Delta SOM$đồng dạng $\Delta SAH$ (g.g) $\Rightarrow \frac{SO}{SA}=\frac{SM}{SH}\Leftrightarrow \frac{SO}{a}=\frac{\frac{a}{2}}{\frac{a}{2}}=1\Rightarrow SO=a\Rightarrow R=a$

Thể tích mặt cầu ngoại tiếp hình chóp:  ${{V}_{mc}}=\frac{4}{3}\pi {{R}^{3}}=\frac{4}{3}\pi {{a}^{3}}$

Chọn: A