Cho \(f\left( x \right) = -2{x^2} + \left( {m + 2}...

C

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

Cho tam thức bậc hai \(f\left( x \right) = a{x^2} + bx + c\left( {a \ne 0} \right)\) có biệt thức \(\Delta  = {b^2} - 4ac\)

-  Nếu \(\Delta  < 0\) thì với mọi \(x,f\left( x \right)\) có cùng dấu với hệ số a.

-  Nếu \(\Delta  = 0\) thì \(f\left( x \right)\) có nghiệm kép \(x =  - \frac{b}{{2a}}\), với mọi \(x \ne  - \frac{b}{{2a}},\,\,f\left( x \right)\) có cùng dấu với hệ số a.

- Nếu \(\Delta  > 0\),\(f\left( x \right)\)có 2 nghiệm \({x_1},{x_2}\,\,\left( {{x_1} < {x_2}} \right)\) và luôn cùng dấu với hệ số a với mọi x ngoài khoảng  \(\left( {{x_1};\,\,{x_2}} \right)\)  và luôn trái dấu với hệ số a với mọi x trong khoảng \(\left( {{x_1};\,\,{x_2}} \right).\)

Giải chi tiết:

\(f\left( x \right) < 0 \Leftrightarrow -2{x^2} + \left( {m + 2} \right)x + m-4\)

Ta có: \(\Delta  = {\left( {m + 2} \right)^2} + 8\left( {m - 4} \right) = {m^2} + 12m - 28.\)

\(\begin{array}{l} \Rightarrow f\left( x \right) < 0\,\,\forall x \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a < 0\\\Delta  < 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} - 2 < 0\,\,\forall m\\{m^2} + 12m - 28 < 0\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left( {m - 2} \right)\left( {m + 14} \right) < 0 \Leftrightarrow  - 14 < m < 2.\end{array}\)

Vậy với \(m \in \left( { - 14;2} \right)\) thỏa mãn yêu cầu đề bài.

Chọn C.