Gọi \(F\left( x \right)\) là nguyên hàm của hàm số...

D

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

- Tìm hàm số \(F\left( x \right)\) bằng cách dùng phương pháp đổi biến tìm nguyên hàm.

- Giải phương trình \(F\left( x \right) = x\) và kết luận nghiệm.

Giải chi tiết:

Đặt \(\sqrt {8 - {x^2}}  = t \Rightarrow 8 - {x^2} = {t^2} \Rightarrow  - 2xdx = 2tdt \Rightarrow xdx =  - tdt\).

Do đó \(\int {\dfrac{x}{{\sqrt {8 - {x^2}} }}dx}  = \int {\dfrac{{ - tdt}}{t}}  =  - t + C =  - \sqrt {8 - {x^2}}  + C\)\( \Rightarrow F\left( x \right) =  - \sqrt {8 - {x^2}}  + C\).

Lại có \(F\left( 2 \right) = 0 \Rightarrow  - \sqrt {8 - 4}  + C = 0 \Leftrightarrow C = 2\)

\( \Rightarrow F\left( x \right) =  - \sqrt {8 - {x^2}}  + 2\) với \( - 2\sqrt 2  \le x \le 2\sqrt 2 \).

\(\begin{array}{l} \Rightarrow F\left( x \right) = x \Leftrightarrow  - \sqrt {8 - {x^2}}  + 2 = x \Leftrightarrow \sqrt {8 - {x^2}}  = 2 - x \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}2 - x \ge 0\\8 - {x^2} = 4 - 4x + {x^2}\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x \le 2\\2{x^2} - 4x - 4 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x \le 2\\\left[ \begin{array}{l}x = 1 + \sqrt 3 \\x = 1 - \sqrt 3 \end{array} \right.\end{array} \right. \Leftrightarrow x = 1 - \sqrt 3 \,\,\left( {tm} \right)\end{array}\)

Chọn D