Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số \(m\) để h...

C

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

Hàm số đạt cực tiểu tại \(x = 0 \Leftrightarrow y'\) có nghiệm \(x = 0\) và \(y'\) đổi dấu từ âm sang dương qua nghiệm \(x = 0\) 

Giải chi tiết:

Ta có \(y' = {x^3}\left[ {8{x^4} + 5x\left( {m - 2} \right) - 4\left( {{m^2} - 4} \right)} \right] = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 0\\g\left( x \right) = 8{x^4} + 5x\left( {m - 2} \right) - 4\left( {{m^2} - 4} \right) = 0\end{array} \right.\)

Do \(x = 0\) là một nghiệm của đạo hàm nên hàm số đạt cực tiểu tại \(x = 0 \Leftrightarrow y'\) đổi dấu từ \( - \) sang \( + \) khi qua nghiệm \(x = 0\)

*) TH1: \(x = 0\) là nghiệm của \(g\left( x \right)\) hay \(m =  \pm 2\)

Với \(m{\rm{ }} = {\rm{ }}2\)  thì \(g\left( x \right) = 0\)  có nghiệm \(x = 0\)  bội \(4\) theo kết quả ở trên thì \(x{\rm{ }} = {\rm{ }}0\)  là nghiệm bội \(7\)  của \(y'\)  nên \(x{\rm{ }} = {\rm{ }}0\) là điểm cực tiểu của hàm số nên chọn \(m{\rm{ }} = {\rm{ }}2.\)

Với \(m =  - 2\) thì \(g\left( x \right)\) có nghiệm \(x{\rm{ }} = {\rm{ }}0\) và 1 nghiệm dương, lúc này lập bảng biến thiên thu được \(x{\rm{ }} = {\rm{ }}0\)  là điểm cực đại của hàm số. Loại \(m{\rm{ }} = {\rm{ }} - {\rm{ }}2.\)

*) TH2: \(x = 0\) không là nghiệm của \(g\left( x \right)\) hay \(m \ne  \pm 2\). Ta có \(g\left( 0 \right) =  - 4\left( {{m^2} - 4} \right)\).

\(y' = {x^3}g\left( x \right)\) đổi dấu từ \( - \) sang \( + \) qua nghiệm \(x = 0\) khi và chỉ khi \(\left\{ \begin{array}{l}\mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} g\left( x \right) > 0\\\mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ - }} g\left( x \right) > 0\end{array} \right.\)

\( \Leftrightarrow  - 4\left( {{m^2} - 4} \right) > 0\) \( \Leftrightarrow {m^2} - 4 < 0 \Leftrightarrow  - 2 < m < 2\)

Do \(m\) nguyên nên \(m \in \left\{ { - 1;0;1} \right\}\)

Kết hợp hai trường hợp ta được \(m \in \left\{ { - 1;0;1;2} \right\}\)

Chọn C.