Có bao nhiêu giá trị thực của m để phương...

C

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

Đưa phương trình về dạng tích, giải các phương trình lượng giác cơ bản.

Cách giải:

Giải chi tiết:

\(\begin{array}{l}\left( {\sin x - 1} \right)\left( {2{{\cos }^2}x - \left( {2m + 1} \right)\cos x + m} \right) = 0\\ \Leftrightarrow \left( {\sin x - 1} \right)\left( {2{{\cos }^2}x - 2m\cos x - \cos x + m} \right) = 0\\ \Leftrightarrow \left( {\sin x - 1} \right)\left[ {2\cos x\left( {\cos x - m} \right) - \left( {\cos x - m} \right)} \right] = 0\\ \Leftrightarrow \left( {\sin x - 1} \right)\left( {\cos x - m} \right)\left( {2\cos x - 1} \right) = 0\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\sin x = 1\\\cos x = \frac{1}{2}\\\cos x = m\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = \frac{\pi }{2} + k2\pi \\x =  \pm \frac{\pi }{3} + k2\pi \\\cos x = m\,\,\,\left( * \right)\end{array} \right.\end{array}\)

Do \(x \in \left[ {0;2\pi } \right] \Rightarrow x \in \left\{ {\frac{\pi }{2};\frac{\pi }{3};\frac{{5\pi }}{3}} \right\}\)

Do đó để phương trình ban đầu có 4 nghiệm thực phân biệt thuộc \(\left[ {0;2\pi } \right]\) thì phương trình (*)

TH1: có đúng 1 nghiệm thực thuộc \(\left[ {0;2\pi } \right] \Rightarrow \cos x =  - 1 \Rightarrow m =  - 1\).

TH2: có hai nghiệm trong đó có 1 nghiệm thuộc \(\left\{ {\frac{\pi }{2};\frac{\pi }{3};\frac{{5\pi }}{3}} \right\}\)

\(\begin{array}{l}x = \frac{\pi }{2} \Rightarrow m = 0 \Rightarrow \cos x = 0 \Rightarrow x \in \left\{ {\frac{\pi }{2};\frac{{3\pi }}{2}} \right\}\,\,\left( {tm} \right)\\x = \frac{\pi }{3} \Rightarrow m = \frac{1}{2} \Rightarrow \cos x = \frac{1}{2} \Rightarrow x \in \left\{ {\frac{\pi }{3};\frac{{5\pi }}{3}} \right\}\,\,\left( {ktm} \right)\\x = \frac{{5\pi }}{3} \Rightarrow m = \frac{1}{2} \Rightarrow \cos x = \frac{1}{2} \Rightarrow x \in \left\{ {\frac{\pi }{3};\frac{{5\pi }}{3}} \right\}\,\,\left( {ktm} \right)\end{array}\)

Vậy có hai giá trị của m thỏa mãn là\(m =  - 1;\,\,m = 0\).

Chọn C.