Cho các số thực dương x và y thỏ...

B

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

- Đánh giá, tìm nghiệm của phương trình \(4+{{9.3}^{{{x}^{2}}-2y}}=(4+{{9}^{{{x}^{2}}-2y}}){{.7}^{2y-{{x}^{2}}+2}}\).

Giải chi tiết:

Đặt \({{x}^{2}}-2y=t\). Phương trình \(4+{{9.3}^{{{x}^{2}}-2y}}=(4+{{9}^{{{x}^{2}}-2y}}){{.7}^{2y-{{x}^{2}}+2}}\)(1) trở thành:  \(4+{{3}^{t+2}}=(4+{{3}^{2t}}){{.7}^{2-t}}\) (2)

* Dễ dàng kiểm tra, \(t=2\) là nghiệm của (2).

* Nếu t > 2 thì \(\left\{ \begin{array}{l}t + 2 < 2t\\{7^0} < {7^{2 - t}}\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}0 < 4 + {3^{t + 2}} < 4 + {3^{2t}}\\0 < 1 < {7^{2 - t}}\end{array} \right. \Rightarrow 4 + {3^{t + 2}} < (4 + {3^{2t}}){.7^{2 - t}}\)

* Nếu t < 2 thì \(\left\{ \begin{array}{l}t + 2 > 2t\\{7^0} > {7^{2 - t}}\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}4 + {3^{t + 2}} > 4 + {3^{2t}} > 0\\1 > {7^{2 - t}} > 0\end{array} \right. \Rightarrow 4 + {3^{t + 2}} > (4 + {3^{2t}}){.7^{2 - t}}\)

Vậy, phương trình (2) có duy nhất một nghiệm \(t=2\). Khi đó, ta có: \({{x}^{2}}-2y=2\Leftrightarrow 2y={{x}^{2}}-2\)

\(P=\frac{x+2y+18}{x+1}=\frac{x+{{x}^{2}}-2+18}{x+1}=\frac{{{x}^{2}}+x+16}{x+1}=x+\frac{16}{x+1}=(x+1)+\frac{16}{x+1}-1\overset{\operatorname{Cos}i}{\mathop{\ge }}\,2\sqrt{(x+1).\frac{16}{x+1}}-1=8-1=7\)

( do \(x>0\)).

Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi \(x+1=\frac{16}{x+1}\Leftrightarrow x=3\)

Vậy, P đạt giá trị nhỏ nhất bằng 7.

Chọn: B.