Cho tứ diện đều ABCD có cạnh a. ...

B

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

- Khoảng cách giữa hai đường thẳng bằng độ dài đoạn vuông góc chung.

Giải chi tiết:

Gọi I, J lần lượt là trung điểm của AB, CD; O là trọng tâm của ABC, G là giao điểm của DO và IJ.

* Chứng minh IJ là đoạn vuông góc chung của AB và CD:

Các tam giác ABC, ABD đều và bằng nhau, suy ra các đường cao tương ứng \(DI=IC\).

\(\Rightarrow \Delta DIC\)cân tại I

Mà IJ là trung tuyến \(\Rightarrow IJ\bot CD\) (1)

Ta có: \(IC\bot AB\) (vì tam giác ABC đều), \(DO\bot AB\,\)(vì \(DO\bot (ABC)\)

\(\Rightarrow AB\bot (DIC)\Rightarrow AB\bot IJ\) (2)

Từ (1), (2) suy ra IJ là đoạn vuông góc chung của AB và CD \(\Rightarrow d(AB,\,CD)=IJ\)

* Tính IJ:

Tam giác ABC đều, cạnh a \(\Rightarrow IC=\frac{a\sqrt{3}}{2}\)

J là trung điểm CD \(\Rightarrow JC=\frac{a}{2}\)

Tam giác IJC vuông tại J \(\Rightarrow I{{C}^{2}}=I{{J}^{2}}+J{{C}^{2}}\Leftrightarrow {{\left( \frac{a\sqrt{3}}{2} \right)}^{2}}=I{{J}^{2}}+{{\left( \frac{a}{2} \right)}^{2}}\Rightarrow IJ=\frac{a\sqrt{2}}{2}\)

Vậy khoảng cách giữa hai đường thẳng AB và CD là \(\frac{a\sqrt{2}}{2}\).

Chọn: B.