Tổng các nghiệm của phương trình \(\log _{2}^{2}x-...

C

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

+) Áp dụng các công thức cơ bản của hàm logrit, biến đổi phương trình và đưa phương trình về phương trình bậc 2 ẩn \({{\log }_{2}}x.\)

+) Sau đó đặt \(t={{\log }_{2}}x\) và đưa phương trình về phương trình bậc hai ẩn t.

+) Giải phương trình tìm ẩn t sau đó tìm ẩn x.

+) Sau đó tính tổng các nghiệm tìm được.

Giải chi tiết:

ĐK: \(x>0.\)

\(\begin{align}  & Pt\Leftrightarrow \log _{2}^{2}x-{{\log }_{2}}{{3}^{2}}.{{\log }_{3}}x=3 \\  & \ \ \ \ \Leftrightarrow \log _{2}^{2}x-2{{\log }_{2}}3.{{\log }_{3}}x=3 \\  & \ \ \ \ \Leftrightarrow \log _{2}^{2}x-2{{\log }_{2}}x-3=0\ \ \ \left( * \right) \\ \end{align}\)

Đặt \(t={{\log }_{2}}x.\) Khi đó ta có:

\(\begin{array}{l}
\left( * \right) \Leftrightarrow {t^2} - 2t - 3 = 0\\
\;\;\;\;\; \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
t = 3\\
t = - 1
\end{array} \right. \Rightarrow \left[ \begin{array}{l}
{\log _2}x = 3\\
{\log _2}x = - 1
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
{x_1} = {2^3} = 8\;\;\left( {tm} \right)\\
{x_2} = {2^{ - 1}} = \frac{1}{2}\;\left( {tm} \right)
\end{array} \right..\\
\Rightarrow {x_1} + {x_2} = 8 + \frac{1}{2} = \frac{{17}}{2}.
\end{array}\)

Chọn C.