Cho đa giác đều 20 đỉnh. Lấy ngẫ...

C

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

+) Tính số phần tử của không gian mẫu \(\left| \Omega  \right|\)

+) Gọi A là biến cố “3 đỉnh đó đều là 3 đỉnh của 1 tam giác vuông không cân”. Tính số kết quả thuận lợi cho biến cố A là \(\left| A \right|\).

Tam giác vuông là tam giác nhận đường kính \(A_{i}{{A}_{i+10\,}}\,\left( i=\overline{1;10} \right)\) làm đường kính.

+) Tính xác suất của biến cố A: \(P\left( A \right)=\frac{\left| A \right|}{\left| \Omega  \right|}\)

Giải chi tiết:

Có \(C_{20}^{3}=1140\) tam giác được tạo nên từ 20 đỉnh của đa giác đều đã cho \(\Rightarrow \left| \Omega  \right|=1140\)

Gọi A là biến cố “3 đỉnh đó đều là 3 đỉnh của 1 tam giác vuông không cân”.

Gọi đa giác đều 20 đỉnh là \({{A}_{1}},\ {{A}_{2}},\ ...,\ {{A}_{20}}\) ta có đa giác đều nội tiếp đường tròn có đường kính \({{A}_{i}}{{A}_{i+10}}\,\,\left( i=1;\ 2;\ 3;......;\ 10 \right).\)

\(\Rightarrow \) Tam giác có 3 đỉnh là đỉnh của đa giác đều 20 đỉnh đó là tam giác vuông phải chứa cạnh \({{A}_{i}}{{A}_{i+10}}\), tức là tam giác có dạng \({{A}_{i}}{{A}_{i+10}}{{A}_{j}}\,\,\left( i=1;\ 2;\ 3;......;\ 10;j\in \left\{ 1;2;...;20 \right\}\backslash \left\{ i;i+10 \right\} \right)\)

Xét mỗi trường hợp của i \(\left( i=1;\ 2;\ 3;......;\ 10 \right)\) có 18 tam giác vuông, trong đó có 2 tam giác vuông cân \(\Rightarrow \) có 16 tam giác vuông không cân. Vậy có tất cả 160 tam giác vuông không cân.

\(\Rightarrow \left| A \right|=160\)

Vậy \(P\left( A \right)=\frac{\left| A \right|}{\left| \Omega  \right|}=\frac{8}{57}\)

Chọn C.