Cho tập hợp A có 20 phần tử. Có bao nhiêu tập con...

A

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

Tính số phần tử của tập hợp A sau đó sử dụng khai triển nhị thức Newon: \({{\left( a+b \right)}^{n}}=\sum\limits_{k=0}^{n}{C_{n}^{k}{{a}^{n-k}}{{b}^{k}}}\)

Giải chi tiết:

Số tập hợp con của A có:

+) 2 phần tử: \(C_{20}^{2}\)

+) 4 phần tử: \(C_{20}^{4}\)

….

+ 20 phần tử: \(C_{20}^{20}\)

Suy ra, số tập hợp con của A khác rỗng và số phần tử là số chẵn là: \(S=C_{20}^{2}+C_{20}^{4}+C_{20}^{6}+...+C_{20}^{20}\).

Ta có: \({{(x+1)}^{20}}=\sum\limits_{i=0}^{20}{C_{20}^{i}{{x}^{i}}}\).

Cho \(x=-1\Rightarrow {{(-1+1)}^{20}}=\sum\limits_{i=0}^{20}{C_{20}^{i}{{(-1)}^{i}}}=C_{20}^{0}-C_{20}^{1}+C_{20}^{2}-C_{20}^{3}+...+C_{20}^{20}={{0}^{20}}=0\)

Cho \(x=1\Rightarrow {{(1+1)}^{20}}=\sum\limits_{i=0}^{20}{C_{20}^{i}}=C_{20}^{0}+C_{20}^{1}+C_{20}^{2}+C_{20}^{3}+...+C_{20}^{20}={{2}^{20}}\)

 Suy ra, \(\left( C_{20}^{0}-C_{20}^{1}+C_{20}^{2}-C_{20}^{3}+...+C_{20}^{20} \right)+\left( C_{20}^{0}+C_{20}^{1}+C_{20}^{2}+C_{20}^{3}+...+C_{20}^{20} \right)=0+{{2}^{20}}\)

\(\Leftrightarrow 2\left( C_{20}^{0}+C_{20}^{2}+C_{20}^{4}+...+C_{20}^{20} \right)={{2}^{20}}\Leftrightarrow C_{20}^{0}+C_{20}^{2}+C_{20}^{4}+...+C_{20}^{20}={{2}^{19}}\Leftrightarrow S={{2}^{19}}-C_{20}^{0}={{2}^{19}}-1\)                                       \(\)

Chọn: A