Cho hàm số \(f(x)\)liên tục trên...

B

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

Đặt \(t=-x\)

Giải chi tiết:

\(I=\int\limits_{-1}^{1}{\frac{f(x)}{1+{{e}^{x}}}dx}=1\)    (1)

Đặt \(t=-x\Rightarrow dt=-dx\). Đổi cận: \(\left\{ \begin{align}  & x=-1\Rightarrow t=1 \\ & x=1\Rightarrow t=-1 \\\end{align} \right.\). Khi đó:

\(I=\int\limits_{-1}^{1}{\frac{f(x)}{1+{{e}^{x}}}dx}=-\int\limits_{1}^{-1}{\frac{f(-t)}{1+{{e}^{-t}}}dt}=-\int\limits_{1}^{-1}{\frac{f(t)}{\frac{1+{{e}^{t}}}{{{e}^{t}}}}dt}\) ( do \(f(x)\) là hàm chẵn) \(=\int\limits_{-1}^{1}{\frac{{{e}^{t}}f(t)}{1+{{e}^{t}}}dt}=\int\limits_{-1}^{1}{\frac{{{e}^{x}}f(x)}{1+{{e}^{x}}}dx}\)

 \(\Rightarrow \int\limits_{-1}^{1}{\frac{{{e}^{x}}f(x)}{1+{{e}^{x}}}dx}=1\)    (2)

Từ (1), (2), suy ra: \(\int\limits_{-1}^{1}{\frac{f(x)}{1+{{e}^{x}}}dx}+\int\limits_{-1}^{1}{\frac{{{e}^{x}}f(x)}{1+{{e}^{x}}}dx}=2\Leftrightarrow \int\limits_{-1}^{1}{\frac{({{e}^{x}}+1)f(x)}{1+{{e}^{x}}}dx}=2\Leftrightarrow \int\limits_{-1}^{1}{f(x)dx=2}\)

Chọn: B