Cho hình chóp \(S.ABCD\) có đáy \(ABCD\) là hình t...

A

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

+) Chứng minh \(SD \bot \left( {ABCD} \right)\).

+) Xác định mặt phẳng \(\left( \alpha  \right)\), chia thiết diện thành 1 hình chữ nhật và một tam giác để tính diện tích.

Giải chi tiết:

Gọi H là trung điểm của BC ta có \(SH \bot BC\).

Ta dễ dàng chứng minh được ADCH là hình thoi \( \Rightarrow HD \bot AC\).

Lại có \(SD \bot AC\,\,\left( {gt} \right) \Rightarrow AC \bot \left( {SHD} \right) \Rightarrow AC \bot SH\)

\(\left\{ \begin{array}{l}SH \bot BC\\SH \bot AC\end{array} \right. \Rightarrow SH \bot \left( {ABCD} \right)\).

Trong \(\left( {ABCD} \right)\) kẻ \(PQ//AC\,\,\left( {P \in AD;Q \in CD} \right)\), trong \(\left( {SBD} \right)\) kẻ \(MT//SD\,\,\left( {T \in SA} \right)\), trong \(\left( {SCD} \right)\) kẻ \(QR//SD\,\,\left( {R \in SC} \right)\), trong \(\left( {SAB} \right)\) kẻ \(PU//SD\,\,\left( {U \in SA} \right)\).

Khi đó \(\left( \alpha  \right) \equiv \left( {PQRTU} \right)\)

Ta có \(PQ//UR//AC;\,\,UP//QR//SD \Rightarrow \) Tứ giác PQRU là hình bình hành.

Lại có \(SD \bot AC \Rightarrow PQ \bot PU \Rightarrow PQRU\) là hình chữ nhật.

Ta có \(HA = HB = HC = HD \Rightarrow SA = SB = SC = SD\)

Áp dụng định lí Ta-lét ta có:

Do ABCD là hình thang cân \( \Rightarrow \Delta ACD\) vuông tại D

\( \Rightarrow BD = \sqrt {4{a^2} - {a^2}}  = a\sqrt 3  = AC\).

Xét tam giác vuông ABC có: \(\sin \angle ACB = \frac{{AB}}{{BC}} = \frac{a}{{2a}} = \frac{1}{2} \Rightarrow \angle ACDB = {30^0} = \angle ADB = \angle CAD\).

\( \Rightarrow \angle AOD = {120^0}\)

Áp dụng định lí Cosin trong tam giác OAD ta có:

\(\begin{array}{l}A{D^2} = O{A^2} + O{D^2} - 2OA.OD.\cos \angle AOD\\ \Rightarrow {a^2} = 2O{A^2} - 2O{A^2}.\frac{{ - 1}}{2} = 3O{A^2} \Rightarrow OA = \frac{a}{{\sqrt 3 }} = OD\end{array}\)

Áp dụng định lí Ta-lét ta có: \(\frac{{MD}}{{OD}} = \frac{{PQ}}{{AC}} \Rightarrow \frac{x}{{\frac{a}{{\sqrt 3 }}}} = \frac{{PQ}}{{a\sqrt 3 }} \Leftrightarrow PQ = \frac{{xa\sqrt 3 }}{{\frac{a}{{\sqrt 3 }}}} = 3x\).

Tam giác SBC đều cạnh 2a \( \Rightarrow SH = \frac{{2a\sqrt 3 }}{2} = a\sqrt 3  \Rightarrow SD = \sqrt {3{a^2} + {a^2}}  = 2a\)

Áp dụng định lí Ta-lét ta có:

\(\frac{{UP}}{{SD}} = \frac{{AP}}{{AD}} = \frac{{OM}}{{OD}} \Rightarrow \frac{{UP}}{{2a}} = \frac{{\frac{a}{{\sqrt 3 }} - x}}{{\frac{a}{{\sqrt 3 }}}} \Rightarrow UP = \frac{{2a\left( {\frac{a}{{\sqrt 3 }} - x} \right)}}{{\frac{a}{{\sqrt 3 }}}} = 2\left( {a - x\sqrt 3 } \right)\).

\( \Rightarrow {S_{PQRU}} = PQ.UP = 3x.2\left( {a - x\sqrt 3 } \right) = 6x\left( {a - x\sqrt 3 } \right)\)  

Ta có \(\frac{{MT}}{{SD}} = \frac{{BM}}{{BD}} = 1 - \frac{{MD}}{{BD}} = 1 - \frac{x}{{a\sqrt 3 }} \Rightarrow MT = \left( {1 - \frac{x}{{a\sqrt 3 }}} \right).2a = 2\left( {a - \frac{x}{{\sqrt 3 }}} \right)\)

\( \Rightarrow TE = TM - ME = \left( {1 - \frac{x}{{a\sqrt 3 }}} \right).2a - 2\left( {a - x\sqrt 3 } \right) = 2\left( {a - \frac{x}{{\sqrt 3 }} - a + x\sqrt 3 } \right) = \frac{{4x\sqrt 3 }}{3}\)

\( \Rightarrow {S_{TUR}} = \frac{1}{2}SE.UR = \frac{1}{2}.\frac{{4x\sqrt 3 }}{3}.3x = 2{x^2}\sqrt 3 \)

Vậy \({S_{PQRTU}} = {S_{PQUR}} + {S_{TUR}} = 6x\left( {a - x\sqrt 3 } \right) + 2{x^2}\sqrt 3  = 6ax - 4{x^2}\sqrt 3 \)

\({S_{PQRTU\,\,\max }} \Leftrightarrow x = \frac{{6a}}{{2.4\sqrt 3 }} = \frac{{\sqrt 3 a}}{4}\) .

Chọn A.