Giải phương trình nghiệm nguyên \({x^2} + {y^2} +...

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

Xét tính chẵn lẻ của \(x,\,\,y,\,\,z\).

Tìm nghiệm tổng quát của phương trình rồi kết luận.

Giải chi tiết:

Ta có \({x^2} + {y^2} + {z^2} = 4xyz\)\( \Rightarrow {x^2} + {y^2} + {z^2}\) là số chẵn

Có 2 trường hợp xảy ra:

+) TH1: 2 số lẻ và 1 số chẵn. Giả sử x,y lẻ; z chẵn.

\(\begin{array}{l} \Rightarrow {x^2} + {y^2} \equiv 1 + 1\,\,\left( {\bmod 4} \right) \equiv 2\,\,\left( {\bmod 4} \right)\\\,\,\,\,\,\,\,z \equiv 0\,\,\left( {\bmod 2} \right) \Rightarrow {z^2} \equiv 0\,\,\left( {\bmod 4} \right)\end{array}\)

\(\begin{array}{l} \Rightarrow VT = {x^2} + {y^2} + {z^2} \equiv 2\,\,\,\left( {\bmod 4} \right)\\\,\,\,\,\,\,VP = 4xyz \equiv 0\,\,\,\left( {\bmod 4} \right)\end{array}\)

\( \Rightarrow \) Loại.

+) TH2: 3 số chẵn

 \(\begin{array}{l} \Rightarrow x;y;z \equiv 0\,\,\,\left( {\bmod 2} \right)\\ \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 2{x_1}\\y = 2{y_1}\\z = 2{z_1}\end{array} \right.\,\,\,\left( {{x_1};{y_1};{z_1} \in \mathbb{Z}} \right)\\ \Rightarrow 4x_1^2 + 4y_1^2 + 4z_1^2 = 4.2{x_1}.2{y_1}.2{z_1}\\ \Leftrightarrow x_1^2 + y_1^2 + z_1^2 = 8{x_1}{y_1}{z_1}\end{array}\)

Chứng minh tương tự \(\left\{ \begin{array}{l}x \vdots {2^k}\\y \vdots {2^k}\\z \vdots {2^k}\end{array} \right.\,\,\forall k \in \mathbb{N}\)

Vậy \(\left( {x;y;z} \right) = \left( {0;0;0} \right)\).