Cho tam giác ABC có \(\widehat A = 120^\c...

B

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

Quay tam giác ABC quanh đường thẳng AB ta được khối tròn xoay có thể tích \({V_1}\) thể tích khối nón lớn có đỉnh B và thiết diện qua trục là BDC (hình vẽ) trừ đi \({V_2}\) thể tích khối nón nhỏ có đỉnh A và thiết diện qua trục là ADC.

Giải chi tiết:

Quay tam giác ABC quanh đường thẳng AB ta được khối tròn xoay có thể tích \({V_1}\) thể tích khối nón lớn có đỉnh B và thiết diện qua trục là BDC (hình vẽ) trừ đi \({V_2}\) thể tích khối nón nhỏ có đỉnh A và thiết diện qua trục là ADC.

Gọi O là tâm đường tròn ngoại tiếp đáy của hai khối nón

Xét tam giác AOC vuông tại O, có: \(\sin 60^\circ  = \dfrac{{OC}}{{AC}} \Rightarrow O{\rm{AC}}\sin 60^\circ  = \dfrac{{\sqrt 3 }}{2}a\)

\(\cos 60^\circ  = \dfrac{{AO}}{{AC}} \Rightarrow OA = AC\cos 60^\circ  = \dfrac{a}{2} \Rightarrow OB = \dfrac{3}{2}a\)

\(V = {V_1} - {V_2} = \dfrac{1}{3}BO.\pi ,O{C^2} - \dfrac{1}{3}OA.\pi O{C^2} = \dfrac{1}{3}\pi O{C^2}\left( {BO - OA} \right) = \dfrac{1}{3}\pi .{\left( {\dfrac{{\sqrt 3 }}{2}a} \right)^2}a = \dfrac{{\pi {a^3}}}{4}\)

Chọn: B