Biết $F\left( x \right) = - \dfrac{1}{{{x^2}}}$ ...

Biết $F\left( x \right) = - \dfrac{1}{{{x^2}}}$ là một nguyên hàm của hàm số $y = \dfrac{{f\left( x \right)}}{x}.$ Tính $\int {f'\left( x \right)\ln xdx.}$

$\int {f'\left( x \right)\ln xdx} = - \dfrac{{2\ln x}}{{{x^2}}} + \dfrac{1}{{{x^2}}} + C$

$\int {f'\left( x \right)\ln xdx} = \dfrac{{2\ln x}}{{{x^2}}} + \dfrac{1}{{{x^2}}} + C$

$\int {f'\left( x \right)\ln xdx} = \dfrac{{2\ln x}}{{{x^2}}} - \dfrac{1}{{{x^2}}} + C$

$\int {f'\left( x \right)\ln xdx} = - \dfrac{{2\ln x}}{{{x^2}}} - \dfrac{1}{{{x^2}}} + C$

Đáp án

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

Sử dụng công thức nguyên hàm từng phần.

Giải chi tiết:

Đặt $\left\{ \begin{array}{l}\ln x = u\\f'\left( x \right)dx = dv\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\dfrac{1}{x}dx = du\\v = f\left( x \right)\end{array} \right.$

Ta có $\int {f'\left( x \right)\ln xdx} = \ln x.f\left( x \right) - \int {\dfrac{1}{x}f\left( x \right)dx} = \ln x.f\left( x \right) + \dfrac{1}{{{x^2}}} + C$

(vì theo giả thiết $\int {\dfrac{{f\left( x \right)}}{x}dx} = - \dfrac{1}{{{x^2}}} + C$ )

Lại có ${\left( {F\left( x \right)} \right)^\prime } = \dfrac{{f\left( x \right)}}{x} \Leftrightarrow \dfrac{{f\left( x \right)}}{x} = {\left( { - \dfrac{1}{{{x^2}}}} \right)^\prime } \Leftrightarrow \dfrac{{f\left( x \right)}}{x} = \dfrac{2}{{{x^3}}} \Rightarrow f\left( x \right) = \dfrac{2}{{{x^2}}}$