Cho tam giác ABC vuông tại A, đường cao AH và đườn...

D

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

Đặt AH = a từ đó tính được AM, BC theo a. Sử dụng các hệ thức lượng trong tam giác vuông để tính được AH và BC, sau đó áp dụng công thức tính diện tích tam giác ABC với đường cao AH , đáy BC là: \(S = \frac{1}{2}AH.BC\)

Giải chi tiết:

Đặt AH = a (a > 0 ) khi đó ta có: AM = a + 7 (cm). Lại có tam giác ABC vuông tại A, có trung tuyến AM nên BC = 2AM

\( \Rightarrow BC = 2\left( {a + 7} \right)\)

Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông ABC ta có: \(AB.AC = AH.BC = 2a.\left( {a + 7} \right) = 2{a^2} + 14a.\,\,\left( 1 \right)\)

Chu vi của tam giác bằng 72 nên ta có: \(AB + AC + BC = 72 \Rightarrow AB + AC = 72 - 2\left( {a + 7} \right)\)

Áp dụng định lý Py – ta – go trong tam giác vuông ABC ta có: \(A{B^2} + A{C^2} = B{C^2} = 4{\left( {a + 7} \right)^2}\)

\(\begin{array}{l} \Rightarrow 2AB.AC = {\left( {AB + AC} \right)^2} - \left( {A{B^2} + A{C^2}} \right) = {\left[ {72 - 2\left( {a + 7} \right)} \right]^2} - 4{\left( {a + 7} \right)^2}\\ \Leftrightarrow 2AB.AC = 4{\left( {29 - a} \right)^2} - 4{\left( {a + 7} \right)^2}\\ \Leftrightarrow AB.AC = 2\left( {841 - 58a + {a^2}} \right) - 2\left( {{a^2} + 14a + 49} \right)\\ \Leftrightarrow AB.AC = 1584 - 144a\,\,\,\,\left( 2 \right)\end{array}\)

Từ (1) và (2) ta có phương trình

\(2{a^2} + 14a = 1584 - 144a \Leftrightarrow {a^2} + 79a - 792 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}a = 9\left( {tm} \right)\\a =  - 88\left( {ktm} \right)\end{array} \right.\)

Vậy AH = 9 (cm); BC = 2(9 + 7) = 32 (cm). Khi đó diện tích của tam giác ABC là: \(S = \frac{1}{2}AH.BC = \frac{1}{2}.9.32 = 144\left( {c{m^2}} \right).\)

Chọn D.