Tìm m để hàm số \(y = {x^3} - {x^2} + mx + 1\) có...

A

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

+) Tìm điều kiện để hàm số có hai cực trị.

+) Nhận xét khi \(a > 0\) thì \({x_{CT}} > {x_{CD}}\)

Giải chi tiết:

Ta có \(y' = 3{x^2} - 2x + m\)

Để hàm số có hai điểm cực trị \( \Leftrightarrow \) Phương trình \(y' = 0\) có hai nghiệm phân biệt

\( \Leftrightarrow \Delta ' = 1 - 3m > 0 \Leftrightarrow m < \dfrac{1}{3}\) ; khi đó phương trình có hai nghiệm phân biệt \({x_{1,2}} = \dfrac{{1 \pm \sqrt {1 - 3m} }}{3}\).

Do \(a = 1 > 0 \Rightarrow {x_{CT}} > {x_{CD}} \Rightarrow {x_{CD}} = \dfrac{{1 - \sqrt {1 - 3m} }}{3}\)

Theo bài ra ta có :

\(\begin{array}{l} - \frac{1}{2} \le \frac{{1 - \sqrt {1 - 3m} }}{3} < \frac{1}{2} \Leftrightarrow  - \frac{3}{2} \le 1 - \sqrt {1 - 3m}  < \frac{3}{2} \Leftrightarrow  - \frac{1}{2} < \sqrt {1 - 3m}  \le \frac{5}{2}\\ \Leftrightarrow 1 - 3m \le \frac{{25}}{4} \Leftrightarrow m \ge  - \frac{7}{4}\end{array}\)

Kết hợp điều kiện ta có \( - \frac{7}{4} \le m < \frac{1}{3}\)

Chọn A.