Một sợi dây thép cho chiều dài \(8m,\) được chia t...

D

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

+) Gọi chiều dài phần thứ nhất dùng để uốn thành hình vuông là \(8 - x\,\,\left( m \right)\) thì chiều dài phần thứ hai dùng để uốn thành tam giác đều là \(x\,\,\left( m \right)\;\;\left( {0 < x < 8} \right).\)

+) Tính lần lượt cạnh của hình vuông, cạnh của tam giác đều, từ đó tính diện tích S₁ của hình vuông và diện tích S₂ của tam giác đều.

+) Tính tổng diện tích \(S = {S_1} + {S_2}\). Tam thức bậc hai \(y = a{x^2} + bx + c\,\,\left( {a > 0} \right)\) đạt GTNN tại \(x = \frac{{ - b}}{{2a}}\).

Giải chi tiết:

Gọi chiều dài phần thứ nhất dùng để uốn thành hình vuông là \(8 - x\,\,\left( m \right)\) thì chiều dài phần thứ hai dùng để uốn thành tam giác đều là \(x\,\,\left( m \right)\;\;\left( {0 < x < 8} \right).\)

Khi đó ta có cạnh của hình vuông là \(\frac{{8 - x}}{4}\,\,\left( m \right) \Rightarrow \) Diện tích hình vuông là \({S_1} = \frac{{{{\left( {8 - x} \right)}^2}}}{{16}}\,\,\left( {{m^2}} \right)\).

Cạnh của tam giác đều là \(\frac{x}{3}\,\,\left( m \right) \Rightarrow \) Diện tích tam giác đều là  \({S_2} = {\left( {\frac{x}{3}} \right)^2}\frac{{\sqrt 3 }}{4}\,\,\left( {{m^2}} \right)\).

Tổng diện tích hai hình thu được là

\(S = {S_1} + {S_2} = \frac{{{{\left( {8 - x} \right)}^2}}}{{16}}\, + {\left( {\frac{x}{3}} \right)^2}\frac{{\sqrt 3 }}{4} = \frac{{{{\left( {8 - x} \right)}^2}}}{{16}} + \frac{{{x^2}\sqrt 3 }}{{36}} = \frac{{9{{\left( {8 - x} \right)}^2} + 4\sqrt 3 {x^2}}}{{144}} = \frac{{\left( {9 + 4\sqrt 3 } \right){x^2} - 144x + 576}}{{144}}\)

Ta có \({S_{\min }} \Leftrightarrow {\left[ {\left( {9 + 4\sqrt 3 } \right){x^2} - 144x + 576} \right]_{\min }} \Leftrightarrow x = \frac{{ - b}}{{2a}} = \frac{{144}}{{2\left( {9 + 4\sqrt 3 } \right)}} = \frac{{72}}{{9 + 4\sqrt 3 }}\).

Vậy cạnh của tam giác đều là \(\frac{x}{3} = \frac{{24}}{{9 + 4\sqrt 3 }}\) (m).

Chọn D.