Cho tam giác ABC có góc \(A = {90^o}\), \...

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

a) Chứng minh hai tam giác đồng dạng theo trường hợp góc – góc.

b) Áp dụng định lý Pytago để tính AB; từ các cách tính diện tích tam giác ABC để tính AH

c) Chứng minh \(\Delta ACI\) và \(\Delta HCO\) đồng dạng từ đó suy ra hệ thức cần chứng minh.

d) Tính diện tích tứ giác IOHB bằng công thức \({S_{IOHB}} = {S_{\Delta ABC}} - {S_{\Delta HOC}} - {S_{\Delta ACI}}\).

Giải chi tiết:

a) Chứng minh tam giác HBA đồng dạng với tam giác ABC.

Xét \(\Delta HBA\) và \(\Delta ABC\) có:

\(\angle B\) chung

\(\angle AHB = \angle CAB = {90^o}\)

\( \Rightarrow \Delta HBA \sim \Delta ABC\,\,\,\left( {g - g} \right).\,\,\,\left( {dpcm} \right)\)

b) Tính AB; AH.

Áp dụng định lý Pytago vào tam giác ABC vuông tại A có:

\(A{B^2} = B{C^2} - A{C^2} = {25^2} - {15^2} = 400 \Rightarrow AB = 20\,cm\)

Cách 1:

Ta có diện tích tam giác ABC là: \({S_{\Delta ABC}} = \frac{{AB.AC}}{2} = \frac{{20.15}}{2} = 150\,(c{m^2})\)

Mặt khác \({S_{\Delta ABC}} = \frac{{AH.BC}}{2} \Rightarrow \frac{{AH.BC}}{2} = 150 \Rightarrow AH = \frac{{150.2}}{{BC}} = \frac{{300}}{{25}} = 12\,(cm)\)

Cách 2:

Vì \(\Delta HBA \sim \Delta ABC\,\,\left( {cmt} \right)\)

\( \Rightarrow \frac{{HA}}{{AC}} = \frac{{BA}}{{BC}} \Rightarrow AH = \frac{{AC.AB}}{{BC}} = \frac{{15.20}}{{25}} = 12\,\left( {cm} \right).\)

c) Vẽ đường phân giác CI (I thuộc AB). Gọi O là giao điểm của AH và CI. Chứng minh: \(HC.AI = AC.HO\)

Có CI là đường phân giác góc ACH \( \Rightarrow \angle ACI = \angle HCO\)

Xét \(\Delta ACI\) và \(\Delta HCO\) có:

 \(\begin{array}{l}\angle ACI = \angle HCO\,\,\,\left( {cmt} \right)\\\angle CAI = \angle CHO = {90^o}\\ \Rightarrow \Delta ACI \sim \Delta HCO\,\,\left( {g - g} \right)\\ \Rightarrow \frac{{AI}}{{HO}} = \frac{{AC}}{{HC}} \Rightarrow HC.AI = AC.HO\,\,\,\left( {dpcm} \right).\end{array}\)

d) Tính diện tích tứ giác IOHB.

Có CI là đường phân giác góc ACB \( \Rightarrow \frac{{AI}}{{BI}} = \frac{{AC}}{{BC}} = \frac{{15}}{{25}} = \frac{3}{5} \Rightarrow AI = \frac{3}{5}BI\) (tính chất đường phân giác)

Mặt khác \(AI + BI = AB = 20 \Rightarrow \frac{3}{5}BI + BI = 20 \Rightarrow BI = \frac{{25}}{2}\,cm \Rightarrow AI = \frac{{15}}{2}\,cm\)

Áp dụng định lý Pytago vào tam giác AHC vuông tại H có:

\(H{C^2} = A{C^2} - A{H^2} = {15^2} - {12^2} = 81 \Rightarrow HC = 9\,cm\)

Có \(HC.AI = AC.HO\,\,\left( {cmt} \right) \Rightarrow HO = \frac{{HC.AI}}{{AC}} = \frac{{9.15}}{{15.2}} = \frac{9}{2}\,\left( {cm} \right)\)

Diện tích tứ giác IOHB là: \({S_{IOHB}} = {S_{\Delta ABC}} - {S_{\Delta HOC}} - {S_{\Delta ACI}}\)

\( \Rightarrow {S_{IOHB}} = 150 - \frac{{HO.HC}}{2} - \frac{{AC.AI}}{2} = 150 - \frac{{9.9}}{{2.2}} - \frac{{15.15}}{{2.2}} = \frac{{147}}{2}\,\,\,(c{m^2})\)