Tính tổng \(T\) của các giá trị nguyên của tham số...

D

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

+) Đặt \(t = {e^x}\,\,\left( {t > 0} \right)\), đưa phương trình về phương trình bậc hai ẩn \(t\).

+) Tìm điều kiện của ẩn \(t\), sử dụng định lí Vi-ét.

Giải chi tiết:

\({e^x} + \left( {{m^2} - m} \right){e^{ - x}} = 2m \Leftrightarrow {e^{2x}} - 2m{e^x} + {m^2} - m = 0\)

Đặt \(t = {e^x}\,\,\left( {t > 0} \right)\), phương trình trở thành \({t^2} - 2mt + {m^2} - m = 0\) (*).

Ta có \(x < \dfrac{1}{{\log e}} \Leftrightarrow t = {e^x} < {e^{\dfrac{1}{{\log e}}}} = {e^{\ln 10}} = 10\).

Bài toán trở thành tìm điều kiện để phương trình (*) có 2 nghiệm thỏa mãn \(0 < {t_1} < {t_2} < 10\).

\( \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{\Delta ' = {m^2} - {m^2} + m > 0}\\{0 < S = 2m < 20}\\{P = {m^2} - m > 0}\\{\left( {{t_1} - 10} \right)\left( {{t_2} - 10} \right) > 0}\end{array}} \right.\) \( \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{m > 0}\\{0 < m < 10}\\{\left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{m > 1}\\{m < 0}\end{array}} \right.}\\{{m^2} - m - 10.2m + 100 > 0}\end{array}} \right.\) \( \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{1 < m < 10}\\{{m^2} - 21m + 100 > 0}\end{array}} \right.\) \( \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{1 < m < 10}\\{\left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{m > \dfrac{{21 + \sqrt {41} }}{2}}\\{m < \dfrac{{21 - \sqrt {41} }}{2}}\end{array}} \right.}\end{array}} \right.\)\( \Leftrightarrow 1 < m < \dfrac{{21 - \sqrt {41} }}{2}\)

Kết hợp điều kiện\(m \in \mathbb{Z} \Rightarrow T = \left\{ {2;3;4;5;6;7} \right\}\).

Vậy tổng các phần tử của \(T\) bằng 27.

Chọn D.