Cho hình chóp \(S.ABC\) có đáy \(ABC\) là tam giác...

B

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

Sử dụng phương pháp đổi điểm tính khoảng cách, so sánh \(d\left( {C;\left( {SAB} \right)} \right)\) với \(d\left( {I;\left( {SAB} \right)} \right)\) với \(I\) là trung điểm của \(BC\).

Giải chi tiết:

Gọi \(I\), K lần lượt là trung điểm của BC.  Kẻ \(IH \bot SK\) tại H.

Do \(\Delta SBC\) đều \( \Rightarrow SI \bot BC\)

Ta có:  \(\left\{ \begin{array}{l}\left( {SBC} \right) \bot \left( {ABC} \right)\\\left( {SBC} \right) \cap \left( {ABC} \right) = BC\\SI \subset \left( {SBC} \right)\\SI \bot BC\end{array} \right. \Rightarrow SI \bot \left( {ABC} \right)\)

\(IK//AC\) (IK là đường trung bình của tam giác ABC, mà \(AC \bot AB \Rightarrow IK \bot AB\)

\(SI \bot AB \Rightarrow AB \bot \left( {SIK} \right) \Rightarrow AB \bot IH\)

Do \(\left\{ \begin{array}{l}AB \bot IH\\SK \bot IH\end{array} \right. \Rightarrow IH \bot \left( {SAB} \right) \Rightarrow d\left( {I;\left( {SAB} \right)} \right) = IH\)

Mà \(CI \cap \left( {SAB} \right) = B \Rightarrow \dfrac{{d\left( {C;\left( {SAB} \right)} \right)}}{{d\left( {I;\left( {SAB} \right)} \right)}} = \dfrac{{CB}}{{IB}} = 2 \Rightarrow d\left( {C;\left( {SAB} \right)} \right) = 2d\left( {I;\left( {SAB} \right)} \right) = 2IH = h\)

Ta có: \(IK = \dfrac{{AC}}{2} = \dfrac{{BC\sin B}}{2} = \dfrac{{a.\dfrac{1}{2}}}{2} = \dfrac{a}{4}\)

Tam giác SBC đều, cạnh a \( \Rightarrow SI = \dfrac{{a\sqrt 3 }}{2}\)

Xét trong \(\Delta SIK\) vuông tại I, \(IH \bot SK\)

\( \Rightarrow \dfrac{1}{{I{H^2}}} = \dfrac{1}{{S{I^2}}} + \dfrac{1}{{I{K^2}}} = \dfrac{1}{{\dfrac{{3{a^2}}}{4}}} + \dfrac{1}{{\dfrac{{{a^2}}}{{16}}}} = \dfrac{{52}}{{3{a^2}}} \Rightarrow IH = \dfrac{{a\sqrt {39} }}{{26}} \Rightarrow h\dfrac{{a\sqrt {39} }}{{13}}\)

Chọn: B