Giải phương trình \(\sin x - \cos x + 7\sin 2x = 1...

D

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

Giải chi tiết:

Đặt \(t=\sin x-\cos x=-\sqrt{2}\cos \left( x+\frac{\pi }{4} \right)\in \left[ -\sqrt{2};\sqrt{2} \right]\), suy ra \(\sin 2x=1-{{t}^{2}}\).

Khi đó \(\left( 1 \right)\Leftrightarrow t+7\left( 1-{{t}^{2}} \right)=1\Leftrightarrow 7{{t}^{2}}-t-6=0\Leftrightarrow \left[ \begin{align}  & t=1 \\  & t=-\frac{6}{7} \\ \end{align} \right.\,\,\left( tm \right)\).

\( \Leftrightarrow \left[ \matrix{
\cos \left( {x + {\pi \over 4}} \right) = - {1 \over {\sqrt 2 }} = \cos {{3\pi } \over 4} \hfill \cr
\cos \left( {x + {\pi \over 4}} \right) = {{3\sqrt 2 } \over 7} = \cos \alpha \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow \left[ \matrix{
x = - \pi + 2k\pi \hfill \cr
x = {\pi \over 2} + 2k\pi \hfill \cr
x = - {\pi \over 4} \pm \alpha + 2k\pi \hfill \cr} \right.\,\,\left( {k \in Z} \right)\)

Vậy hệ phương trình đã cho có 4 họ nghiệm như trên.