Tìm m để phương trình \(4\sin 3x\sin x + 4\cos \le...

A

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

Giải chi tiết:

Hướng dẫn giải chi tiết

Ta có:

\(\eqalign{ & 4\sin 3x\sin x = 2\left( {\cos 2x - \cos 4x} \right) \cr & 4\cos \left( {3x - {\pi \over 4}} \right)\cos \left( {x + {\pi \over 4}} \right) = 2\left[ {\cos \left( {2x - {\pi \over 2}} \right) + \cos 4x} \right] = 2\left( {\sin 2x + \cos 4x} \right) \cr & {\cos ^2}\left( {2x + {\pi \over 4}} \right) = {1 \over 2}\left( {1 + \cos \left( {4x + {\pi \over 2}} \right)} \right) = {1 \over 2}\left( {1 - \sin 4x} \right) \cr} \)

 Do đó phương trình đã cho tương đương với

\(\eqalign{ & 2\left( {\cos 2x - \cos 4x} \right) + 2\left( {\sin 2x + \cos 4x} \right) - {1 \over 2}\left( {1 - \sin 4x} \right) + m = 0 \cr & \Leftrightarrow 2\left( {\cos 2x + \sin 2x} \right) + {1 \over 2}\sin 4x + m - {1 \over 2} = 0 \cr & \Leftrightarrow 2\left( {\sin 2x + \cos 2x} \right) + \sin 2x\cos 2x + m - {1 \over 2} = 0\,\,\,\left( 1 \right) \cr} \)

Đặt \(t = \sin 2x + \cos 2x\,\,\,\left( { - \sqrt 2  \le t \le \sqrt 2 } \right)\) . Khi đó \({t^2} = 1 + 2\sin 2x\cos 2x \Rightarrow \sin 2x\cos 2x = {{{t^2} - 1} \over 2}\)

Phương trình  (1) trở thành: \(2t + {{{t^2} - 1} \over 2} + m - {1 \over 2} = 0 \Leftrightarrow {t^2} + 4t - 2 + 2m = 0 \Leftrightarrow {t^2} + 4t - 2 =  - 2m\)

Xét hàm số \(f\left( t \right) = {t^2} + 4t - 2\) trên \(\left[ { - \sqrt 2 ;\sqrt 2 } \right]\) ta có BBT:

Từ BBT ta thấy \( - 4\sqrt 2  \le f\left( t \right) \le 4\sqrt 2  \Leftrightarrow  - 4\sqrt 2  \le  - 2m \le 4\sqrt 2  \Leftrightarrow  - 2\sqrt 2  \le m \le 2\sqrt 2 \)

Vậy với \( - 2\sqrt 2  \le m \le 2\sqrt 2 \) thì phương trình ban đầu có nghiệm.

Chọn A.