Cho biểu thức: \(P = \left( {{{a + \sqrt a } \over...

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

a)      Phân tích đa thức thành nhân tử, quy đồng, rút gọn biểu thức.

b)      Để biểu thức P nguyên khi và chỉ khi tử chia hết cho mẫu.

Giải chi tiết:

a)      Với điều kiện a không âm và a khác 1 ta có:

\(\eqalign{  & P = \left( {{{a + \sqrt a } \over {a\sqrt a  + a + \sqrt a  + 1}} + {1 \over {a + 1}}} \right):{{\sqrt a  - 1} \over {a + 1}}  \cr   &  = ({{\sqrt a (\sqrt a  + 1)} \over {(\sqrt a  + 1)(a + 1)}} + {1 \over {a + 1}}):{{\sqrt a  - 1} \over {a + 1}}  \cr   &  = {{\sqrt a  + 1} \over {a + 1}}.{{a + 1} \over {\sqrt a  - 1}} = {{\sqrt a  + 1} \over {\sqrt a  - 1}} = 1 + {2 \over {\sqrt a  - 1}}. \cr} \)

b)      Để biểu thức P nhận giá trị nguyên thì mẫu số phải là ước của 2.

Do đó ta có:

\(\left[ \matrix{  \sqrt a  - 1 =  - 2 \hfill \cr   \sqrt a  - 1 =  - 1 \hfill \cr   \sqrt a  - 1 = 1 \hfill \cr   \sqrt a  - 1 = 2 \hfill \cr}  \right. \Leftrightarrow \left[ \matrix{  \sqrt a  =  - 1 \hfill \cr   a = 0 \hfill \cr   a = 4 \hfill \cr   a = 9 \hfill \cr}  \right. \to a \in {\rm{\{ }}0;4;9\} .\)

Và đây chính là 3 giá trị cần tìm.