Giải hệ phương trình \(\left\{ \begin{array}{l}{x^...

C

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

Bước 1: Biến đổi, làm xuất hiện các đại lượng tổng và tích trong hệ phương trình. Tức là đưa hệ phương trình về dạng : \(\left( I \right)\,\,\left\{ \begin{array}{l}{g_1}\left( {x \pm y;xy} \right) = 0\\{g_2}\left( {x \pm y;xy} \right) = 0\end{array} \right.\)

Bước 2: Đặt \(\left\{ \begin{array}{l}x \pm y = S\\xy = P\end{array} \right.\). Thế vào hệ phương trình (I), giải hệ phương trình đã cho tìm S, P.

Bước 3: Giải bằng phương pháp thế hoặc định lí Vi-ét đảo để tìm nghiệm \(\left( {x;y} \right)\).

Giải chi tiết:

\(\left\{ \begin{array}{l}{x^2} + {y^2} = 65\\\left( {x - 1} \right)\left( {y - 1} \right) = 18\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{\left( {x + y} \right)^2} - 2xy = 65\\xy - \left( {x + y} \right) = 17\end{array} \right.\)

Đặt \(x + y = a;xy = b\)ta có :

\(\left\{ \begin{array}{l}{a^2} - 2b = 65\\b - a = 17\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{a^2} - 2b = 65\\b = 17 + a\end{array} \right. \Leftrightarrow  \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{a^2} - 2\left( {a + 17} \right) = 65\\b = 17 + a\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\left[ \begin{array}{l}a = 11\\a =  - 9\end{array} \right.\\b = 17 + a\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}a = 11\\b = 28\end{array} \right.\\\left\{ \begin{array}{l}a =  - 9\\b = 8\end{array} \right.\end{array} \right.\)

Với \(\left\{ \begin{array}{l}a = 11\\b = 28\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}x + y = 11\\xy = 28\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 11 - y\\\left( {11 - y} \right)y = 28\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}x = 4\\y = 7\end{array} \right.\\\left\{ \begin{array}{l}y = 4\\x = 7\end{array} \right.\end{array} \right.\)

Với \(\left\{ \begin{array}{l}a =  - 9\\b = 8\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}x + y =  - 9\\xy = 8\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x =  - 9 - y\\\left( { - 9 - y} \right)y = 8\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}y =  - 8\\x =  - 1\end{array} \right.\\\left\{ \begin{array}{l}y =  - 1\\x =  - 8\end{array} \right.\end{array} \right.\)

Vậy hệ phương trình có nghiệm là \(\left( { - 1; - 8} \right);\left( { - 8; - 1} \right);\left( {4;7} \right);\left( {7;4} \right)\)

Chọn C.