Cho hình phẳng $\left( H \right)$ giới hạn bởi...

B

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

 Chia làm các khối tròn xoay và lấy hiệu

Giải chi tiết:

Vì $\left( P \right)$ đi qua ba điểm $O\left( 0;0 \right),\,\,A\left( 2;4 \right)$

$\Rightarrow \,\,$ Phương trình parabol là $\left( P \right):y={{x}^{2}}.$ Tiếp tuyến của $\left( P \right)$ tại điểm $A\left( 2;4 \right)$ có phương trình là $\left( d \right):y=4x-4.$

Hoành độ giao điểm của $\left( P \right)$ và $\left( d \right)$ là nghiệm phương trình: ${{x}^{2}}=4x-4\Leftrightarrow x=2.$

Thể tích khối tròn xoay khi quay hình phẳng $\left( {{H}_{1}} \right)$ giới hạn bởi $\left( P \right),\,\,y=0,\,\,x=0,\,\,x=2$ là ${{V}_{1}}=\pi \int\limits_{0}^{2}{{{f}^{2}}\left( x \right)\,\text{d}x}=\pi \int\limits_{0}^{2}{{{x}^{4}}\,\text{d}x}=\left. \frac{\pi {{x}^{5}}}{5} \right|_{0}^{2}=\frac{32\pi }{5}.$

Thể tích khối tròn xoay khi quay hình phẳng $\left( {{H}_{2}} \right)$ giới hạn bởi $\left( d \right),\,\,y=0,\,\,x=1,\,\,x=2$ là ${{V}_{2}}=\pi \int\limits_{1}^{2}{{{g}^{2}}\left( x \right)\,\text{d}x}=\pi \int\limits_{1}^{2}{{{\left( 4x-4 \right)}^{2}}\,\text{d}x=}\pi \int\limits_{1}^{2}{16{{\left( x- \right)}^{2}}\,\text{d}x=}\left. \frac{16\pi {{\left( x-1 \right)}^{3}}}{3} \right|_{1}^{2}=\frac{16\pi }{3}.$

Vậy thể tích khối tròn xoay cần tính là $V={{V}_{1}}-{{V}_{2}}=\frac{32\pi }{5}-\frac{16\pi }{3}=\frac{16\pi }{15}.$

Chọn B