Cho hình phẳng \(\left( H \right)\) giới hạn bởi...

B

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

 Chia làm các khối tròn xoay và lấy hiệu

Giải chi tiết:

Vì \(\left( P \right)\) đi qua ba điểm \(O\left( 0;0 \right),\,\,A\left( 2;4 \right)\)

\(\Rightarrow \,\,\) Phương trình parabol là \(\left( P \right):y={{x}^{2}}.\) Tiếp tuyến của \(\left( P \right)\) tại điểm \(A\left( 2;4 \right)\) có phương trình là \(\left( d \right):y=4x-4.\)

Hoành độ giao điểm của \(\left( P \right)\) và \(\left( d \right)\) là nghiệm phương trình: \({{x}^{2}}=4x-4\Leftrightarrow x=2.\)

Thể tích khối tròn xoay khi quay hình phẳng \(\left( {{H}_{1}} \right)\) giới hạn bởi \(\left( P \right),\,\,y=0,\,\,x=0,\,\,x=2\) là \({{V}_{1}}=\pi \int\limits_{0}^{2}{{{f}^{2}}\left( x \right)\,\text{d}x}=\pi \int\limits_{0}^{2}{{{x}^{4}}\,\text{d}x}=\left. \frac{\pi {{x}^{5}}}{5} \right|_{0}^{2}=\frac{32\pi }{5}.\)

Thể tích khối tròn xoay khi quay hình phẳng \(\left( {{H}_{2}} \right)\) giới hạn bởi \(\left( d \right),\,\,y=0,\,\,x=1,\,\,x=2\) là \({{V}_{2}}=\pi \int\limits_{1}^{2}{{{g}^{2}}\left( x \right)\,\text{d}x}=\pi \int\limits_{1}^{2}{{{\left( 4x-4 \right)}^{2}}\,\text{d}x=}\pi \int\limits_{1}^{2}{16{{\left( x- \right)}^{2}}\,\text{d}x=}\left. \frac{16\pi {{\left( x-1 \right)}^{3}}}{3} \right|_{1}^{2}=\frac{16\pi }{3}.\)

Vậy thể tích khối tròn xoay cần tính là \(V={{V}_{1}}-{{V}_{2}}=\frac{32\pi }{5}-\frac{16\pi }{3}=\frac{16\pi }{15}.\)

Chọn B