Cho hàm số \(f\left( x \right)\) xác định trên kh...

C

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

Tìm hàm số thông qua nguyên hàm của đạo hàm, chia trường hợp phá trị tuyệt đối, tìm hằng số C

Giải chi tiết:

Ta có \(f\left( x \right)=\int{{f}'\left( x \right)\text{d}x}=\int{\frac{1}{x\left( \ln x-1 \right)}\text{d}x}=\int{\frac{1}{\ln x-1}\text{d}\left( \ln x \right)}=\ln \left| \ln x-1 \right|+C\) \(\Rightarrow f\left( x \right)=\left\{ \begin{align} & \ln \left| \ln x-1 \right|+{{C}_{1}}\ \ \ \ \ \text{khi}\ 0<x<\text{e} \\ & \ln \left| \ln x-1 \right|+{{C}_{2}}\ \ \ \ \ \text{khi }x>\text{e} \\ \end{align} \right.\)

 Do \(f\left( \frac{1}{{{\text{e}}^{2}}} \right)=\ln 6\Rightarrow \ln \left| \ln \frac{1}{{{\text{e}}^{2}}}-1 \right|+{{C}_{1}}=\ln 6\Leftrightarrow \ln 3+{{C}_{1}}=\ln 6\Leftrightarrow {{C}_{1}}=\ln 2\)

Đồng thời \(f\left( {{\text{e}}^{2}} \right)=3\Rightarrow \ln \left| \ln {{\text{e}}^{2}}-1 \right|+{{C}_{2}}=3\Leftrightarrow {{C}_{2}}=3\) Khi đó \(f\left( \frac{1}{\text{e}} \right)+f\left( {{\text{e}}^{3}} \right)=\ln \left| \ln \frac{1}{\text{e}}-1 \right|+\ln 2+\ln \left| \ln {{\text{e}}^{3}}-1 \right|+3=3\left( \ln 2+1 \right)\).

Chọn C