Biết diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường \...

B

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

Sử dụng công thức ứng dụng của tích phân để tính diện tích hình phẳng.

Giải chi tiết:

Xét phương trình hoành độ giao điểm \(\sin x=\cos x\Leftrightarrow \tan x=1\Leftrightarrow x=\frac{\pi }{4}+k\pi \) .

TH1: \(a=\frac{\pi }{4}\Rightarrow S=\left| \int\limits_{0}^{\frac{\pi }{4}}{\left( \sin x-\cos x \right)dx} \right|=\sqrt{2}-1\Rightarrow \) không thỏa mãn.

TH2: \(a=\frac{\pi }{2}\Rightarrow S=\left| \int\limits_{0}^{\frac{\pi }{4}}{\left( \sin x-\cos x \right)dx} \right|+\left| \int\limits_{\frac{\pi }{4}}^{\frac{\pi }{2}}{\left( \sin x-\cos x \right)} \right|=\sqrt{2}-1+\sqrt{2}-1=2\sqrt{2}-2\Rightarrow \) không thỏa mãn.

TH3: \(a\in \left( \frac{\pi }{4};\frac{\pi }{2} \right)\)

\(\begin{array}{l} \Rightarrow S = \left| {\int\limits_0^{\frac{\pi }{4}} {\left( {\sin x - \cos x} \right)dx} } \right| + \left| {\int\limits_{\frac{\pi }{4}}^a {\left( {\sin x - \cos x} \right)} } \right| = \sqrt 2  - 1 + \left| {\left. {\left( { - \cos x - \sin x} \right)} \right|_{\frac{\pi }{4}}^a} \right|\\ \Rightarrow S = \sqrt 2  - 1 + \left| { - \cos x - \sin a + \frac{{\sqrt 2 }}{2} + \frac{{\sqrt 2 }}{2}} \right| = \frac{1}{2}\left( { - 3 + 4\sqrt 2  - \sqrt 3 } \right)\\ \Leftrightarrow \left| { - \cos a - \sin a + \sqrt 2 } \right| =  - \frac{1}{2} + \sqrt 2  - \frac{{\sqrt 3 }}{2}\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} - \cos a - \sin a + \sqrt 2  =  - \frac{1}{2} + \sqrt 2  - \frac{{\sqrt 3 }}{2}\\ - \cos a - \sin a + \sqrt 2  = \frac{1}{2} - \sqrt 2  + \frac{{\sqrt 3 }}{2}\end{array} \right.\end{array}\)

\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\cos a + \sin a = \frac{1}{2} + \frac{{\sqrt 3 }}{2}\\\cos a + \sin a =  - \frac{1}{2} - \frac{{\sqrt 3 }}{2} + 2\sqrt 2 \left( {ktm} \right)\left( {\left( {\sin a + \cos a} \right) \in \left[ { - \sqrt 2 ;\sqrt 2 } \right]} \right)\end{array} \right.\\ \Rightarrow a = \frac{\pi }{3}\left( {a \in \left[ {\frac{\pi }{4};\frac{\pi }{2}} \right]} \right) \approx 1,04 \in \left( {\frac{{51}}{{50}};\frac{{11}}{{10}}} \right)\end{array}\) 

Chọn B.