Cho hàm số \(y=f(x)\)  có đạo hàm \({f}'(x)={{(x-1...

C

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

Đặt \(g\left( x \right)=f\left( {{x}^{2}}=8x+m \right)\), tính \(g'\left( x \right)\) và giải phương trình \(g'\left( x \right)=0\), tìm điều kiện để phương trình có 5 nghiệm phân biệt và qua các nghiệm đó \(g'\left( x \right)\) đổi dấu.

Giải chi tiết:

Ta có \({g}'\left( x \right)=\left( 2x-8 \right){f}'\left( {{x}^{2}}-8x+m \right)=0\Leftrightarrow \left[ \begin{align}  & x=4 \\ & {f}'\left( {{x}^{2}}-8x+m \right)=0\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\left( * \right) \\ \end{align} \right..\,\,\left( I \right)\)

Mà \({f}'\left( x \right)={{\left( x-1 \right)}^{2}}\left( {{x}^{2}}-2x \right)={{\left( x-1 \right)}^{2}}.x\left( x-2 \right);\,\,\forall x\in R.\)

Suy ra \(\left( * \right)\Leftrightarrow {{\left( {{x}^{2}}-8x+m-1 \right)}^{2}}\left( {{x}^{2}}-8x+m \right)\left( {{x}^{2}}-8x+m-2 \right)=0\Leftrightarrow \left[ \begin{align}  & {{x}^{2}}-8x+m-1=0\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\left( 1 \right) \\  & {{x}^{2}}-8x+m=0\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\left( 2 \right) \\  & {{x}^{2}}-8x+m-2=0\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\left( 3 \right) \\ \end{align} \right.\)

Qua các nghiệm của phương trình \(\left( 1 \right)\) (nếu có) thì \(g'\left( x \right)\) đều không đổi dấu. Do đó ta không xét phương trình \(\left( 1 \right)\)

Để hàm số đã cho có 5 điểm cực trị khi và chỉ khi phương trình \(\left( 2 \right);\left( 3 \right)\) có 2 nghiệm phân biệt khác 4.

\(\Leftrightarrow \left\{ \begin{align}  & 16-m>0 \\  & 16-m+2>0 \\  & -16+m\ne 0 \\  & -18+m\ne 0 \\ \end{align} \right.\Leftrightarrow m<16\)          

Kết hợp \(m\in {{Z}^{+}}\)\(\Rightarrow \)có 15 giá trị \(m\) cần tìm.

Chọn C.