Cho hàm số \(y = f(x)\) liên tục và nhận giá trị d...

Câu hỏi: Cho hàm số \(y = f(x)\) liên tục và nhận giá trị dương trên đoạn \(\left[ {0;\dfrac{\pi }{4}} \right]\) thỏa mãn \(f'(x) = \tan \,x.f(x)\), \(\forall x \in \left[ {0;\frac{\pi }{4}} \right],\,\,f(0) = 1\). Khi đó, \(\int\limits_0^{\frac{\pi }{4}} {\cos \,x.f(x)dx} \) bằng:

A \(\dfrac{{1 + \pi }}{4}\).

B \(\dfrac{\pi }{4}\).

C \(\ln \dfrac{{1 + \pi }}{4}\)

D 0

Đáp án

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

Giải chi tiết:

\(\begin{array}{l}f'(x) = \tan \,x.f(x) \Rightarrow \dfrac{{f'(x)}}{{f(x)}} = \tan \,x \Rightarrow \int {\dfrac{{f'(x)}}{{f(x)}}dx} = \int {\tan \,x} dx \Leftrightarrow \ln \left| {f(x)} \right| = - \ln \left| {\cos x} \right| + C \Leftrightarrow \ln \left| {\cos x.f(x)} \right| = {C_1}\\ \Rightarrow \cos x.f(x) = C\end{array}\)

Mà \(f(0) = 1 \Rightarrow {C} = 1\)

\(\int\limits_0^{\frac{\pi }{4}} {\cos \,x.f(x)dx} = \int\limits_0^{\frac{\pi }{4}} {1dx} = \dfrac{\pi }{4}\)

Chọn: B

Câu hỏi trên thuộc đề trắc nghiệm

Đề thi thử THPT QG môn Toán Sở GD và ĐT Quảng Bình - năm 2018 (có lời giải chi tiết)

↑