Để đồ thị hàm số \(y = {x^4} - 2m{x^2} + m - 1\) c...

A

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

Xác định tọa độ ba điểm cực trị (biểu diễn thông qua tham số m)

Dựa vào tính chất trực tâm để tìm giá trị của m.

Giải chi tiết:

\(y = {x^4} - 2m{x^2} + m - 1 \Rightarrow y' = 4{x^3} - 4mx\)

\(y' = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 0\\{x^2} = m\end{array} \right.\)

Đồ thị hàm số có 3 điểm cực trị \( \Leftrightarrow m > 0\). Khi đó, tọa độ 3 điểm cực trị :

\(A(0;m - 1),\,B( - \sqrt m ; - {m^2} + m - 1),\,\,C(\sqrt m ; - {m^2} + m - 1)\)

O là trực tâm tam giác ABC \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\overrightarrow {OA} .\overrightarrow {BC}  = 0\,\,\,(1)\,\\\overrightarrow {OB} .\overrightarrow {AC}  = 0\,\,(2)\end{array} \right.\)

Ta có: \(\overrightarrow {OA}  = (0;m - 1),\,\,\overrightarrow {OB}  = ( - \sqrt m ; - {m^2} + m - 1),\,\,\) \(\overrightarrow {BC}  = (2\sqrt m ;0),\,\,\overrightarrow {AC}  = (\sqrt m ; - {m^2})\)

\((1) \Leftrightarrow 0.2\sqrt m  + (m - 1).0 = 0\) (luôn đúng)

\(\left( 2 \right) \Leftrightarrow {\rm{}} - \sqrt m .\sqrt m {\rm{}} + \left( { - {m^2} + m - 1} \right)\left( { - {m^2}} \right) = 0\)

\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow  - m + {m^4} - {m^3} + {m^2} = 0 \Leftrightarrow m\left( {{m^3} - {m^2} + m - 1} \right) = 0\\ \Leftrightarrow m\left( {m - 1} \right)\left( {{m^2} + 1} \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{m = 0{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} {\mkern 1mu} {\mkern 1mu} \left( {ktm} \right)}\\{m = 1{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} {\mkern 1mu} {\mkern 1mu} {\mkern 1mu} \left( {tm} \right)}\end{array}} \right.\end{array}\)

Vậy m = 1.

Chọn: A