Trong không gian với hệ tọa độ O...

A

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

Phương trình (P) song song với 2 đường thẳng \({{d}_{1}},{{d}_{2}}\) nên vtpt của (P) chính là \(\left[ \overrightarrow{{{u}_{1}}},\overrightarrow{{{u}_{2}}} \right]\)

Và có Phương trình mặt phẳng (P) cách đều hai đường thẳng \({{d}_{1}},{{d}_{2}}\) nên: \(d\left( {{d}_{1}};\left( P \right) \right)=d\left( {{d}_{2}};\left( P \right) \right)\)

Giải chi tiết:

Ta có \({{d}_{1}}:\frac{x-2}{-1}=\frac{y}{1}=\frac{z}{1}\Rightarrow vtcp\,\,\overrightarrow{{{u}_{1}}}=\left( -1;1;1 \right)\)

\({{d}_{2}}:\frac{x}{-2}=\frac{y-1}{1}=\frac{z-2}{1}.\Rightarrow vtcp\,\,\overrightarrow{{{u}_{2}}}\left( -2;1;1 \right)\)

Khi đó ta có \(vtpt\,\overrightarrow{\,n}=\left[ \overrightarrow{{{u}_{1}}},\overrightarrow{{{u}_{2}}} \right]=\left( 0;-1;1 \right)\)

Khi đó phương trình mặt phẳng (P) có dạng: \(-y+z+D=0\)

Ta lại có: Phương trình mặt phẳng (P) cách đều hai đường thẳng \({{d}_{1}},{{d}_{2}}\) nên: \(d\left( {{d}_{1}};\left( P \right) \right)=d\left( {{d}_{2}};\left( P \right) \right)\Leftrightarrow d\left( A;\left( P \right) \right)=d\left( B;\left( P \right) \right)\)  với \(A\left( 2;0;0 \right);B\left( 0;1;2 \right)\)

\(\Leftrightarrow \frac{{\left| D \right|}}{{\sqrt {1 + 1} }} = \frac{{\left| { - 1 + 2 + D} \right|}}{{\sqrt {1 + 1} }} \Leftrightarrow \left| D \right| = \left| {D + 1} \right| \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
D = D + 1\\
D = - D - 1
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
0 = 1\left( {vn} \right)\\
D = \frac{{ - 1}}{2}
\end{array} \right.\)

Vậy phương trình mặt phẳng (P) cần tìm là: \(-y+z-\frac{1}{2}=0\Leftrightarrow 2y-2z+1=0\)

Chọn A.