Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành...

A

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

Sử dụng định lí Menelaus.

Giải chi tiết:

\(\left( {MNG} \right) \supset MN//BD\), (MNG) và (SBD) có điểm G chung \( \Rightarrow \left( {GMN} \right) \cap \left( {SBD} \right) = PQ\) là đường thẳng đi qua G và song song với MN \(\left( {P \in SD;\,\,Q \in SB} \right)\).

Trong (ABCD) gọi \(E = MN \cap BC;\,\,F = MN \cap CD\).

Trong \(\left( {SAB} \right)\) gọi \(H = EQ \cap SC \Rightarrow \left( {GMN} \right) \cap SC = H\).

Ta dễ dàng chứng minh được \(\Delta AMN = \Delta BME = \Delta DFN\,\,\left( {c.g.c} \right) \Rightarrow MN = ME = NF\).

Xét tam giác SBD có PQ // BD \( \Rightarrow \frac{{PQ}}{{BD}} = \frac{{SQ}}{{SB}} = \frac{{SG}}{{SO}} = \frac{2}{3} \Rightarrow \frac{{PQ}}{{2MN}} = \frac{2}{3} \Rightarrow \frac{{PQ}}{{MN}} = \frac{4}{3}\)

\( \Rightarrow \frac{{PQ}}{{EF}} = \frac{{PQ}}{{3MN}} = \frac{4}{9}\)

Xét tam giác HEF có \(\frac{{PQ}}{{EF}} = \frac{{HQ}}{{HE}} = \frac{4}{9}\)

Áp dụng định lí Menelaus trong tam giác EHC: \(\frac{{BE}}{{BC}}.\frac{{SC}}{{SH}}.\frac{{QH}}{{QE}} = 1 \Leftrightarrow \frac{1}{2}.\frac{{SC}}{{SH}}.\frac{4}{5} = 1 \Leftrightarrow \frac{{SC}}{{SH}} = \frac{5}{2} \Rightarrow \frac{{SH}}{{SC}} = \frac{2}{5}\)  

Chọn A.