Gọi \(\alpha \)là nghiệm lớn nhất thuộc khoảng \(\...

D

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

Sử dụng công thức biến đổi tổng thành tích: \(\cos a - \cos b =  - 2\sin \dfrac{{a + b}}{2}\sin \dfrac{{a - b}}{2}\) và công thức nhân đôi \(\cos 2x = 2{\cos ^2}x - 1\).

Giải chi tiết:

Ta có: \(3\cos x + \cos 2x - \cos 3x + 1 = 2\sin \,x.\sin 2x \Leftrightarrow 3\cos x + \cos 2x - \cos 3x + 1 = \cos x - \cos 3x\)

\( \Leftrightarrow 2\cos x + \cos 2x + 1 = 0 \Leftrightarrow 2\cos x + 2{\cos ^2}x = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\cos x = 0\\\cos x =  - 1\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = \dfrac{\pi }{2} + k\pi \\x = \pi  + k2\pi \end{array} \right.,k \in Z\)

+) \(x = \dfrac{\pi }{2} + k\pi ,k \in Z\), \(x \in \left( {0;2\pi } \right) \Rightarrow \left[ \begin{array}{l}x = \dfrac{\pi }{2}\\x = \dfrac{{3\pi }}{2}\end{array} \right.\)

+) \(x = \pi  + k2\pi ,k \in Z\), \(x \in \left( {0;2\pi } \right) \Rightarrow x = \pi \)

Nghiệm lớn nhất thuộc khoảng \(\left( {0;2\pi } \right)\)của phương trình đã cho là \(\dfrac{{3\pi }}{2}\,\, \Rightarrow \alpha  = \dfrac{{3\pi }}{2}\)

\( \Rightarrow \sin 2\alpha  = \sin \left( {2.\dfrac{{3\pi }}{2}} \right) = \sin 3\pi  = 0\).

Chọn: D