Trong không gian Oxyz, cho 3 điểm \(A\le...

C

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

- Tìm tọa độ điểm \(I\) sao cho  \(3\overrightarrow{IA}+2\overrightarrow{IB}+\overrightarrow{IC}=\overrightarrow{0}\).

- Biến đổi \(3M{{A}^{2}}+2M{{B}^{2}}+M{{C}^{2}}\) qua dạng vecto và đánh giá giá trị nhỏ nhất của tổng.

Giải chi tiết:

+) Mặt cầu \(\left( S \right):{{\left( x-1 \right)}^{2}}+{{\left( y-1 \right)}^{2}}+{{\left( z-1 \right)}^{2}}=1\) có tâm \(J\left( 1;1;1 \right)\), bán kính \(R=1\).

+) Tìm \(I\):  \(3\overrightarrow{IA}+2\overrightarrow{IB}+\overrightarrow{IC}=\overrightarrow{0}\Leftrightarrow 6\overrightarrow{IA}+2\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{0}\Leftrightarrow \overrightarrow{IA}=-\frac{2\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}}{6}\)

Ta có: \(A\left( 0;1;1 \right),\,B\left( 3;0;-1 \right),\,C\left( 0;21;-19 \right)\Rightarrow \overrightarrow{IA}\left( -{{x}_{I}};1-{{y}_{I}};1-{{z}_{I}} \right),\,\,\overrightarrow{AB}\left( 3;-1;-2 \right),\,\,\overrightarrow{AC}\left( 0;20;-20 \right)\)

\(\Rightarrow \left\{ \begin{align}  & -{{x}_{I}}=-\frac{2.3+0}{6} \\ & 1-{{y}_{I}}=-\frac{2.\left( -1 \right)+20}{6} \\ & 1-{{z}_{I}}=-\frac{2.\left( -2 \right)+\left( -20 \right)}{6} \\\end{align} \right.\Rightarrow I\left( 1;4;-3 \right)\)

+) Ta có:

\(\begin{align}  & 3M{{A}^{2}}+2M{{B}^{2}}+M{{C}^{2}}=3{{\left( \overrightarrow{MI}+\overrightarrow{IA} \right)}^{2}}+2{{\left( \overrightarrow{MI}+\overrightarrow{IB} \right)}^{2}}+{{\left( \overrightarrow{MI}+\overrightarrow{IC} \right)}^{2}} \\ & =6M{{I}^{2}}+3I{{A}^{2}}+2I{{B}^{2}}+I{{C}^{2}}+2.\overrightarrow{MI}.\left( 3\overrightarrow{IA}+2\overrightarrow{IB}+\overrightarrow{IC} \right)=6M{{I}^{2}}+3I{{A}^{2}}+2I{{B}^{2}}+I{{C}^{2}}+2.\overrightarrow{MI}.\overrightarrow{0} \\ & =6M{{I}^{2}}+3I{{A}^{2}}+2I{{B}^{2}}+I{{C}^{2}} \\\end{align}\)

Để tổng trên là nhỏ nhất thì MI nhỏ nhất \(\Rightarrow M\)là giao điểm của đoạn thẳng \(IJ\) và  mặt cầu \(\left( S \right)\).

\(\overrightarrow{JI}=\left( 0;3;-4 \right)\)

\(\Rightarrow \)Tọa độ điểm \(M\)thuộc đoạn IJ có dạng \(\left( 1;1+3t;1-4t \right),\,\,t\in \left[ 0;1 \right]\)

Mặt khác \(M\in \left( S \right)\Rightarrow {{\left( 1-1 \right)}^{2}}+{{\left( 1-\left( 1+3t \right) \right)}^{2}}+{{\left( 1-\left( 1-4t \right) \right)}^{2}}=1\)

\(\Leftrightarrow {{t}^{2}}=\frac{1}{25}\Leftrightarrow \left[ \begin{align}  & t=\frac{1}{5} \\ & t=-\frac{1}{5}\,(L) \\\end{align} \right.\Leftrightarrow t=\frac{1}{5}\)  \(\Rightarrow M\left( 1;\frac{8}{5};\frac{1}{5} \right)\Rightarrow OM=\frac{3\sqrt{10}}{5}\).

Chọn: C