Cho hình lập phương ABCD có cạnh là 2. Gọi M, N lầ...

A

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

\({S_{A'HMNK}} = \frac{{{S_{ABMND}}}}{{\cos \widehat {AIA'}}}\)

Giải chi tiết:

Kéo dài MN cắt AB và AD lần lượt tại E và F.

Gọi \(H = A'E \cap BB';\,\,K = A'F \cap DD'\). Khi đó thiết diện là A’HMNK.

Ta có ABMND là hình chiếu của A’HMNK trên mặt phẳng \(\left( {ABCD} \right)\).

Gọi \(I = AC \cap MN\) ta có: \(AC \bot BD;\,\,MN//BD \Rightarrow AC \bot MN\) tại I.

\(\left\{ \begin{array}{l}MN \bot AI\\MN \bot AA'\end{array} \right. \Rightarrow MN \bot \left( {A'AI} \right) \Rightarrow MN \bot A'I\)

\( \Rightarrow \widehat {\left( {\left( {A'HMNK} \right);\left( {ABCD} \right)} \right)} = \widehat {AIA'}\)

Ta có :

\(CM = CN = 1 \Rightarrow MN = \sqrt 2  \Rightarrow IC = \frac{{\sqrt 2 }}{2}\)

\(AC = 2\sqrt 2  \Rightarrow AI = 2\sqrt 2  - \frac{{\sqrt 2 }}{2} = \frac{{3\sqrt 2 }}{2}\).

Xét tam giác vuông AA’I có: \(A'I = \sqrt {AA{'^2} + A{I^2}}  = \sqrt {4 + \frac{9}{2}}  = \frac{{\sqrt {34} }}{2}\).

\( \Rightarrow \cos \widehat {AIA'} = \frac{{AI}}{{A'I}} = \frac{{\frac{{3\sqrt 2 }}{2}}}{{\frac{{\sqrt {34} }}{2}}} = \frac{3}{{\sqrt {17} }} = \cos \widehat {\left( {\left( {ABCD} \right);\left( {A'HMNK} \right)} \right)}\)

Ta có \({S_{ABCD}} = 4;\,\,{S_{CMN}}\frac{1}{2}.1.1 = \frac{1}{2} \Rightarrow {S_{ABMND}} = 4 - \frac{1}{2} = \frac{7}{2}\)

\( \Rightarrow {S_{A'HMNK}} = \frac{{{S_{ABMND}}}}{{\cos \widehat {AIA'}}} = \frac{7}{2}.\frac{{\sqrt {17} }}{3} = \frac{{7\sqrt {17} }}{6}\) .

Chọn A.