Cho hình chóp S.ABCD có

A

- Hướng dẫn giải

Đáp án A

Tam giác ADC vuông tại D $\Rightarrow S_{\Delta ADC}=\frac{1}{2}.AD.CD=\frac{a^2\sqrt{3}}{2}$

 $\Rightarrow CD=a\sqrt{3}\Rightarrow AC=\sqrt{A{D}^2+C{D}^2}=\sqrt{a^2+{\left(a\sqrt{3}\right)}^2}=2a.$

Vì tứ giác ABCD có $\stackrel{⏜}{ABC}=\stackrel{⏜}{ADC}={90}^{\circ }\Rightarrow ABCD$ là tứ giác nội tiếp đường tròn tâm O với O là trung điểm của AC $\Rightarrow R_{ABCD}=\frac{AC}{2}=a.$

Và $SA\perp \left(ABCD\right)\Rightarrow \stackrel{⏜}{SC;\left(ABCD\right)}=\stackrel{⏜}{\left(SC;AC\right)}=\stackrel{⏜}{SCA}={60}^{\circ }$

Tam giác SAC vuông tại A $\Rightarrow \tan \stackrel{⏜}{SCA}=\frac{SA}{AC}\Rightarrow SA=2a\sqrt{3}.$

Suy ra bán kính mặt cầu cần tính là:

$R=\sqrt{{R^2}_{ABCD}+\frac{S{A}^2}{4}}=2a\Rightarrow S_{mc}=16\pi a^2.$