Cho hình chóp \(S.ABCD\) có đáy \(ABCD\) là hình c...

C

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

\(\left\{ \begin{array}{l}a//\left( \alpha  \right)\\b \subset \left( \alpha  \right)\end{array} \right.\,\,\,\, \Rightarrow d\left( {a;b} \right) = d\left( {a;\left( \alpha  \right)} \right) = d\left( {A;\left( \alpha  \right)} \right),\,\,\left( {A \in a} \right)\)

Giải chi tiết:

Ta có: \(AB//CD,\,\,CD \subset \left( {SCD} \right)\,\, \Rightarrow AB//\left( {SCD} \right)\,\)

\(\, \Rightarrow d\left( {AB;SD} \right) = d\left( {AB;\left( {SCD} \right)} \right) = d\left( {B;\left( {SCD} \right)} \right)\)

Dựng \(BH \bot SC,\,\,H \in SC\)  (1)

Ta có:  \(\left\{ \begin{array}{l}CD \bot BC\\CD \bot SB\,\,\left( {do\,\,SB \bot \left( {ABCD} \right)} \right)\end{array} \right.\,\,\)

\( \Rightarrow CD \bot \left( {SBC} \right)\,\, \Rightarrow CD \bot BH\) (2)

Từ (1), (2) \( \Rightarrow BH \bot \left( {SCD} \right)\)

\( \Rightarrow d\left( {B;\left( {SCD} \right)} \right) = BH\,\,\, \Rightarrow d\left( {AB;SD} \right) = BH\)

Tam giác SBC vuông tại B, \(BH \bot SC\,\,\)

\( \Rightarrow \dfrac{1}{{B{H^2}}} = \dfrac{1}{{S{B^2}}} + \dfrac{1}{{B{C^2}}} = \dfrac{1}{{{a^2}}} + \dfrac{1}{{{{\left( {\sqrt 3 a} \right)}^2}}} = \dfrac{4}{{3{a^2}}} \Rightarrow BH = \dfrac{{a\sqrt 3 }}{2}\)

Vậy, \(d\left( {AB;SD} \right) = \dfrac{{a\sqrt 3 }}{2}\). 

Chọn: C