Cho a và b là các số thực thỏa mãn: \({a^{2017}} +...

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

Xét các trường hợp của a và b, sau đó biến đổi để chứng minh biểu thức P không âm trong từng trường hợp.

Giải chi tiết:

Nếu \(a=0\) và \(b=0\) thì\(P = 2018 > 0\).

Nếu cả a và b khác 0 thì xảy ra hai trường hợp sau:

TH1: a, b trái dấu \( \Rightarrow 2018.a.b < 0 \Rightarrow 2018 - 2018.{\rm{a}}{\rm{.}}b > 0 \Rightarrow P > 0\)

TH2: a, b cùng dấu.                          

Vì \(2{a^{2018}}.{b^{2018}} > {\rm{ }}0\) với mọi a, b.

\( \Rightarrow {a^{2017}} + {\rm{ }}{b^{2017}} > {\rm{ }}0\) để đẳng thức \({a^{2017}} + {\rm{ }}{b^{2017}} = {\rm{ }}2{a^{2018}}.{b^{2018}}\) tồn tại dấu  

\( \Rightarrow a,b > 0\)

Ta có:

\(\begin{array}{l}{a^{2017}} + {\rm{ }}{b^{2017}} = {\rm{ }}2{a^{2018}}.{b^{2018}}\\ \Leftrightarrow \frac{{{a^{2017}} + {\rm{ }}{b^{2017}}}}{{{a^{2018}}.{b^{2018}}}} = 2\\ \Leftrightarrow \frac{1}{{a.{b^{2018}}}} + \frac{1}{{{a^{2018}}.b}} = 2\end{array}\)

Áp dụng Cauchy ta có:

\(\begin{array}{l}\frac{1}{{a.{b^{2018}}}} + \frac{1}{{b.{a^{2018}}}} \ge 2\sqrt {\frac{1}{{{{\left( {ab} \right)}^{2019}}}}} \\ \Rightarrow ab \le 1\\ \Rightarrow P{\rm{ }} = {\rm{ }}2018{\rm{ }}--{\rm{ }}2018ab \ge 2018 - 2018.1 = 0\end{array}\)         (a,b cùng dấu).

Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi \(a = b = 1\)

Vậy P luôn không âm.