Cho hàm số \(f\left( x \right)\) thỏa mãn \(f'\lef...

B

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

+) Áp dụng tính chất: \(\int {f'\left( x \right)dx}  = f\left( x \right) + C.\)

+) Sử dụng các công thức  tính nguyên hàm của các hàm số cơ bản để tìm hàm \(f\left( x \right)\) sau đó tính \(f\left( 2 \right).\)

Giải chi tiết:

Ta có: \(f\left( x \right) = \int {\left( {x + 1} \right){e^x}dx}  = \int {x{e^x}dx}  + \int {{e^x}dx}  = {e^x} + \int {x{e^x}dx} \)

Tính: \(I = \int {x{e^x}dx} \)

Đặt \(\left\{ \begin{array}{l}u = x\\dv = {e^x}dx\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}du = dx\\v = {e^x}\end{array} \right.\)

\(\begin{array}{l} \Rightarrow I = \int {x{e^x}dx}  = x{e^x} - \int {{e^x}dx}  = x{e^x} - {e^x} + C\\ \Rightarrow f\left( x \right) = {e^x} + x{e^x} - {e^x} + C = x{e^x} + C.\end{array}\)

Lại có: \(f\left( 0 \right) = 1 \Rightarrow 0.{e^0} + C = 1 \Rightarrow C = 1\)

\( \Rightarrow f\left( x \right) = x{e^x} + 1 \Rightarrow f\left( 2 \right) = 2.{e^2} + 1 = 2{e^2} + 1.\)

Chọn  B.