Giá trị lớn nhất của hàm số \(y = x{e^{ - x}}\) tr...

B

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

Sử dụng cách tìm GTLN; GTNN của hàm số \(y = f\left( x \right)\) trên đoạn \(\left[ {a;b} \right]\) như sau

Bước 1: Tìm tập xác đính \(D\) ; \(\left[ {a;b} \right] \subset D\) . Tính \(y' = f'\left( x \right)\)

Bước 2: Giải phương trình \(f'\left( x \right) = 0\) tìm ra các nghiệm\({x_i}\) và các giá trị \({x_j}\) làm cho \(f'\left( x \right)\) không xác định (chọn các giá trị \({x_i};{x_j} \in D\) )

Bước 3: Tính \(f\left( a \right);f\left( {{x_i}} \right);f\left( {{x_j}} \right);f\left( b \right)\)

Khi đó \(\mathop {Max}\limits_{x \in \left[ {a;b} \right]} \,f\left( x \right) = Max\,\left\{ {f\left( a \right);f\left( {{x_i}} \right);f\left( {{x_j}} \right);f\left( b \right)} \right\}\)

Và \(\mathop {Min}\limits_{x \in \left[ {a;b} \right]} \,f\left( x \right) = Min\,\left\{ {f\left( a \right);f\left( {{x_i}} \right);f\left( {{x_j}} \right);f\left( b \right)} \right\}\)

Hoặc có thể lập BBT rồi kết luận.

Giải chi tiết:

Ta có hàm số \(y = x{e^{ - x}}\) xác định trên \(\left[ {0;2} \right]\)

\(y' = {\left( {x.{e^{ - x}}} \right)^\prime } = {e^{ - x}} - x.{e^{ - x}} = {e^{ - x}}\left( {1 - x} \right) = 0 \Leftrightarrow x = 1 \in \left[ {0;2} \right]\)

Ta có \(y\left( 0 \right) = 0;y\left( 1 \right) = {e^{ - 1}};y\left( 2 \right) = 2{e^{ - 2}}\)

Nên \(\mathop {\max }\limits_{\left[ {0;2} \right]} y = \max \left\{ {0;{e^{ - 1}};2{e^{ - 2}}} \right\} = {e^{ - 1}}\)

Chọn B.