Cho hàm số \(y =  - {x^3} + 4{x^2} + 1\) có đồ thị...

B

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số \(y = f\left( x \right)\) tại điểm có hoành độ \({x_0}\) là:

\(y = f'\left( {{x_0}} \right)\left( {x - {x_0}} \right) + f\left( {{x_0}} \right)\).

Giải chi tiết:

\(y =  - {x^3} + 4{x^2} + 1 \Rightarrow y' =  - 3{x^2} + 8x\).

Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại điểm có hoành độ \({x_0}\) là:

\(y = \left( { - 3x_0^2 + 8{x_0}} \right)\left( {x - {x_0}} \right) - x_0^3 + 4x_0^2 + 1\,\,\left( d \right)\)

\(\begin{array}{l}M\left( {m;1} \right) \in \left( d \right) \Rightarrow 1 = \left( { - 3x_0^2 + 8{x_0}} \right)\left( {m - {x_0}} \right) - x_0^3 + 4x_0^2 + 1\\ \Leftrightarrow  - 3mx_0^2 + 8m{x_0} + 3x_0^3 - 8x_0^2 - x_0^3 + 4x_0^2 = 0\\ \Leftrightarrow 2x_0^3 - \left( {3m + 4} \right)x_0^2 + 8m{x_0} = 0\\ \Leftrightarrow {x_0}\left[ {2x_0^2 - \left( {3m + 4} \right){x_0} + 8m} \right] = 0\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}{x_0} = 0\\2x_0^2 - \left( {3m + 4} \right){x_0} + 8m = 0\,\,\left( * \right)\end{array} \right.\end{array}\)

Để qua \(M\) kẻ được đúng 2 tiếp tuyến đến đồ thị \(\left( C \right)\) thì phương trình (*) hoặc có 2 nghiệm phân biệt trong đó có nghiệm \({x_0} = 0\) hoặc có nghiệm kép \({x_0} \ne 0\).

TH1: (*) có 2 nghiệm phân biệt trong đó có nghiệm \({x_0} = 0\).

\( \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}{\left( {3m + 4} \right)^2} - 64m > 0\\8m = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m = 0\\{4^2} > 0\,\,\left( {luon\,\,dung} \right)\end{array} \right. \Leftrightarrow m = 0\)

TH2: (*) có nghiệm kép \({x_0} \ne 0\).

\( \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}{\left( {3m + 4} \right)^2} - 64m = 0\\8m \ne 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}9{m^2} - 40m + 16 = 0\\m \ne 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}m = 4\\m = \dfrac{4}{9}\end{array} \right.\).

Vậy \(S = \left\{ {0;4;\dfrac{4}{9}} \right\}\).

Chọn B.