Cho hàm số $y =  - {x^3} + 4{x^2} + 1$ có đồ thị...

B

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số $y = f\left( x \right)$ tại điểm có hoành độ ${x_0}$ là:

$y = f'\left( {{x_0}} \right)\left( {x - {x_0}} \right) + f\left( {{x_0}} \right)$.

Giải chi tiết:

$y =  - {x^3} + 4{x^2} + 1 \Rightarrow y' =  - 3{x^2} + 8x$.

Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại điểm có hoành độ ${x_0}$ là:

$y = \left( { - 3x_0^2 + 8{x_0}} \right)\left( {x - {x_0}} \right) - x_0^3 + 4x_0^2 + 1\,\,\left( d \right)$

$\begin{array}{l}M\left( {m;1} \right) \in \left( d \right) \Rightarrow 1 = \left( { - 3x_0^2 + 8{x_0}} \right)\left( {m - {x_0}} \right) - x_0^3 + 4x_0^2 + 1\\ \Leftrightarrow  - 3mx_0^2 + 8m{x_0} + 3x_0^3 - 8x_0^2 - x_0^3 + 4x_0^2 = 0\\ \Leftrightarrow 2x_0^3 - \left( {3m + 4} \right)x_0^2 + 8m{x_0} = 0\\ \Leftrightarrow {x_0}\left[ {2x_0^2 - \left( {3m + 4} \right){x_0} + 8m} \right] = 0\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}{x_0} = 0\\2x_0^2 - \left( {3m + 4} \right){x_0} + 8m = 0\,\,\left( * \right)\end{array} \right.\end{array}$

Để qua $M$ kẻ được đúng 2 tiếp tuyến đến đồ thị $\left( C \right)$ thì phương trình (*) hoặc có 2 nghiệm phân biệt trong đó có nghiệm ${x_0} = 0$ hoặc có nghiệm kép ${x_0} \ne 0$.

TH1: (*) có 2 nghiệm phân biệt trong đó có nghiệm ${x_0} = 0$.

$\Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}{\left( {3m + 4} \right)^2} - 64m > 0\\8m = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m = 0\\{4^2} > 0\,\,\left( {luon\,\,dung} \right)\end{array} \right. \Leftrightarrow m = 0$

TH2: (*) có nghiệm kép ${x_0} \ne 0$.

$\Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}{\left( {3m + 4} \right)^2} - 64m = 0\\8m \ne 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}9{m^2} - 40m + 16 = 0\\m \ne 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}m = 4\\m = \dfrac{4}{9}\end{array} \right.$.

Vậy $S = \left\{ {0;4;\dfrac{4}{9}} \right\}$.

Chọn B.