Cho khối lăng trụ ABC.A’B’C’, khoảng cách...

A

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

- Gọi $E,F$ lần lượt là hình chiếu vuông góc của $A$ trên $BB',CC'$  và chứng minh tam giác $AEF$ vuông.

- Tính thể tích khối chóp $A.BCC'B'$ và suy ra thể tích khối lăng trụ $ABC.A'B'C'$

Giải chi tiết:

Gọi $E,F$ lần lượt là hình chiếu vuông góc của $A$ trên $BB',CC'$ $\Rightarrow AE = 1,AF = \sqrt 3$

Ta có: $\left\{ \begin{array}{l}BB' \bot AE\\BB' \bot AF\end{array} \right. \Rightarrow BB' \bot \left( {AEF} \right) \Rightarrow BB' \bot FE \Rightarrow FE = d\left( {C,BB'} \right) = 2$

Suy ra $\Delta AEF$  vuông tại $A$

Gọi $K = MM' \cap FE \Rightarrow K$ là trung điểm của $EF \Rightarrow AK = \frac{1}{2}FE = 1$

Lại có $MM'//BB' \Rightarrow MM' \bot \left( {AEF} \right) \Rightarrow MM' \bot AK$

$\Rightarrow \frac{1}{{A{K^2}}} = \frac{1}{{A{M^2}}} + \frac{1}{{AM{'^2}}} \Rightarrow 1 = \frac{1}{{A{M^2}}} + \frac{3}{4} \Rightarrow AM = 2$

Gọi $H$ là hình chiếu vuông góc của $A$ trên $FE \Rightarrow AH \bot \left( {BCC'B'} \right)$

Ta có: $\frac{1}{{A{H^2}}} = \frac{1}{{A{E^2}}} + \frac{1}{{A{F^2}}} \Rightarrow AH = \frac{{\sqrt 3 }}{2}$

$\begin{array}{l}MM{'^2} = A{M^2} + AM{'^2} = \frac{{16}}{3} \Rightarrow MM' = \frac{4}{{\sqrt 3 }} = BB'\\{S_{BB'C'C}} = d\left( {C,BB'} \right).BB' = \frac{8}{{\sqrt 3 }}\\ \Rightarrow {V_{ABC.A'B'C'}} = \frac{3}{2}{V_{ABCC'B'}} = \frac{3}{2}.\frac{1}{3}AH.{S_{BB'C'C}} = \frac{3}{2}.\frac{{\sqrt 3 }}{2}.\frac{8}{{\sqrt 3 }} = 2\end{array}$

Chọn A.