Cho khối lăng trụ ABC.A’B’C’, khoảng cách...

A

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

- Gọi \(E,F\) lần lượt là hình chiếu vuông góc của \(A\) trên \(BB',CC'\)  và chứng minh tam giác \(AEF\) vuông.

- Tính thể tích khối chóp \(A.BCC'B'\) và suy ra thể tích khối lăng trụ \(ABC.A'B'C'\)

Giải chi tiết:

Gọi \(E,F\) lần lượt là hình chiếu vuông góc của \(A\) trên \(BB',CC'\) \( \Rightarrow AE = 1,AF = \sqrt 3 \)

Ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}BB' \bot AE\\BB' \bot AF\end{array} \right. \Rightarrow BB' \bot \left( {AEF} \right) \Rightarrow BB' \bot FE \Rightarrow FE = d\left( {C,BB'} \right) = 2\)

Suy ra \(\Delta AEF\)  vuông tại \(A\)

Gọi \(K = MM' \cap FE \Rightarrow K\) là trung điểm của \(EF \Rightarrow AK = \frac{1}{2}FE = 1\)

Lại có \(MM'//BB' \Rightarrow MM' \bot \left( {AEF} \right) \Rightarrow MM' \bot AK\)

\( \Rightarrow \frac{1}{{A{K^2}}} = \frac{1}{{A{M^2}}} + \frac{1}{{AM{'^2}}} \Rightarrow 1 = \frac{1}{{A{M^2}}} + \frac{3}{4} \Rightarrow AM = 2\)

Gọi \(H\) là hình chiếu vuông góc của \(A\) trên \(FE \Rightarrow AH \bot \left( {BCC'B'} \right)\)

Ta có: \(\frac{1}{{A{H^2}}} = \frac{1}{{A{E^2}}} + \frac{1}{{A{F^2}}} \Rightarrow AH = \frac{{\sqrt 3 }}{2}\)

\(\begin{array}{l}MM{'^2} = A{M^2} + AM{'^2} = \frac{{16}}{3} \Rightarrow MM' = \frac{4}{{\sqrt 3 }} = BB'\\{S_{BB'C'C}} = d\left( {C,BB'} \right).BB' = \frac{8}{{\sqrt 3 }}\\ \Rightarrow {V_{ABC.A'B'C'}} = \frac{3}{2}{V_{ABCC'B'}} = \frac{3}{2}.\frac{1}{3}AH.{S_{BB'C'C}} = \frac{3}{2}.\frac{{\sqrt 3 }}{2}.\frac{8}{{\sqrt 3 }} = 2\end{array}\)

Chọn A.