Cho hình chóp \(S.ABCD\) có đáy \(ABCD\) là hình v...

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

1) \(\left\{ \begin{array}{l}d \bot \left( P \right)\\d \subset \left( Q \right)\end{array} \right. \Rightarrow \left( P \right) \bot \left( Q \right)\).

2) Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng là góc giữa đường thẳng và hình chiếu của nó trên mặt phẳng đó.

3) Chứng minh \(AH\) vuông góc với 2 đường thẳng cắt nhau trong \(\left( {SBC} \right)\). Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông tính \(AH\).

Giải chi tiết:

1) Ta có \(\left\{ \begin{array}{l}BD \bot AC\,\,\left( {gt} \right)\\BD \bot SA\,\,\left( {SA \bot \left( {ABCD} \right)} \right)\end{array} \right. \Rightarrow BD \bot \left( {SAC} \right)\).

Mà \(BD \subset \left( {SBD} \right) \Rightarrow \left( {SAC} \right) \bot \left( {SBD} \right)\).

2) Ta có \(SA \bot \left( {ABCD} \right) \Rightarrow \angle \left( {SC;\left( {ABCD} \right)} \right) = \angle \left( {SC;AC} \right) = \angle SCA\).

\(ABCD\) là hình vuông cạnh \(a \Rightarrow AC = a\sqrt 2 \).

Trong tam giác vuông \(SAC\) ta có:

\(\tan \angle SCA = \dfrac{{SA}}{{AC}} = \dfrac{a}{{a\sqrt 2 }} = \dfrac{1}{{\sqrt 2 }} \Rightarrow \angle SCA \simeq {35^0}16'\).

3) Ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}BC \bot AB\,\,\left( {gt} \right)\\BC \bot SA\,\,\left( {SA \bot \left( {ABCD} \right)} \right)\end{array} \right. \Rightarrow BC \bot \left( {SAB} \right) \Rightarrow BC \bot AH\)

\(\left\{ \begin{array}{l}AH \bot SB\,\,\left( {gt} \right)\\AH \bot BC\,\,\left( {cmt} \right)\end{array} \right. \Rightarrow AH \bot \left( {SBC} \right)\).

Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông \(SAB\) ta có:

\(AH = \dfrac{{SA.AB}}{{\sqrt {S{A^2} + A{B^2}} }} = \dfrac{{a.a}}{{\sqrt {{a^2} + {a^2}} }} = \dfrac{a}{{\sqrt 2 }} = \dfrac{{a\sqrt 2 }}{2}\).