Cho nửa đường tròn \(\left( {O;R} \right)\) đường...

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

a) Dựa vào tính chất tiếp tuyến trong đường tròn để chứng minh AD và BE cùng vuông góc với AB.

b) Dựa vào điều đã có sẵn: \(DE = MD + ME\), dựa vào tính chất tiếp tuyến để chứng minh\(MD = DA,ME = EB\).

c) Chứng minh tứ giác MCOF là hình chữ nhật, từ đó suy ra \(\angle DOE = {90^o}\), áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông để có được đẳng thức cần chứng minh.

Giải chi tiết:

a) Chứng minh: \(Ax//By\).

Xét đường tròn \(\left( {O;R} \right)\)có \(Ax\) là tiếp tuyến với A là tiếp điểm.

\( \Rightarrow Ax \bot OA\)(tính chất tiếp tuyến)\( \Rightarrow Ax \bot AB\) (do OA nằm trên AB)\(\)

Chứng minh tương tự có \(By \bot AB\)

Suy ra \(Ax//By\) (do cùng vuông góc với AB) (đpcm).\(\)

b) Trên \(\left( {O;R} \right)\)lấy điểm M. Tiếp tuyến tại M của đường tròn \(\left( {O;R} \right)\)lần lượt cắt \(Ax\) và \(By\) tại D và E. Chứng minh: \(DE = DA + BE\).

Xét \(\left( {O;R} \right)\)có DM, AD là tiếp tuyến với A, M  là tiếp điểm

\( \Rightarrow AD = DM\)(tính chất tiếp tuyến)                                          (1)

Tương tự ta có: \(ME = BE\)                                                 (2)

Vì M nằm trên đoạn DE nên ta có: \(DE = DM + ME\)                    (3)

Từ (1) , (2) , (3) suy ra\(DE = DA + BE\) (đpcm).

c) Chứng minh: \(\angle DOE = {90^o}\) và \(DA.BE = {R^2}\).

+) Chứng minh \(\angle DOE = {90^o}\)

Có: \(DM = DA\)(cmt), suy ra D cách đều A và M, suy ra D nằm trên đường trung trực của AM

Mà có: \(OA = OM\) (cùng là bán kính) suy ra O cách đều A và M, suy ra O nằm trên trung trực của AM

Suy ra OD là trung trực của AM, suy ra \(OD \bot AM.\)

Chứng minh tương tự có \(OE \bot MB.\)

Xét tứ giác MCOF có:

+)  \(\angle MCO = {90^o}\) (do \(OD \bot AM\))

+)  \(\angle MFO = {90^o}\)(do \(OE \bot MB\))

+)  \(\angle CMF = {90^o}\)(do là góc nội tiếp chắn nửa đường tròn)

Suy ra MCOF là hình chữ nhật (dhnb), suy ra \(\angle DOE = {90^o}\). (đpcm)

+) Chứng minh \(DA.BE = {R^2}\).

Xét tam giác DOE vuông tại O có: OM là đường cao (do DE là tiếp tuyến nên OM vuông góc với DE )

\( \Rightarrow ME.MD = O{M^2}\)

Mà có: \(\left\{ \begin{array}{l}DA = MD\\BE = ME\end{array} \right.\) (cmt)

Suy ra \(DA.BE = {R^2}\) (đpcm).\(\)